Wie kann ich die Bahnelemente aus zwei Ortsvektoren und einer Zeitdifferenz berechnen?

Wenn Sie keine anderen Informationen über die Umlaufbahn Ihres Satelliten haben (z. B. die Umlaufbahn ist kreisförmig), müssen Sie dieses Problem meines Erachtens mit dem Satz von Lambert unter der Annahme einer elliptischen Transferbahn lösen (siehe Wikipedia ). Allerdings gibt es meines Wissens keine analytische Lösung und es müssen entweder numerische Verfahren oder Reihenentwicklungen verwendet werden.

In dieser Antwort werde ich versuchen, einige Aspekte dieses Problems vorzustellen und Ihnen einige Hinweise zu geben, wie Sie es angehen können.

Wie im Theorem angegeben, wenn ein Gravitationsparameter gegeben ist$\mu=GM$, die Zeit$\Delta t$erforderlich ist, um eine bestimmte Übertragung durchzuführen, ist eine Funktion von

• die große Halbachse$a$der Umlaufbahn,
• die Summe von$|\vec{r_1}| + |\vec{r_2}|$, und
• die Länge$c$des Akkords, der die beiden Positionen verbindet (siehe Abbildung unten).

$\hskip1.8in$

Dies kann ausgedrückt werden als:

In Ihrem Fall wissen Sie es$\Delta t$aber man muss es finden$a$. Sie werden sehen, dass es tatsächlich zwei verschiedene Werte der großen Halbachse gibt, die Sie in einer bestimmten Position von einer Position zur anderen bringen$\Delta t$(siehe Abbildung unten).

        
Abbildung und Text aus [Bate1971].

Obwohl beide Lösungen korrekt und physikalisch möglich sind, können Sie, da Sie eine Umlaufbahn um die Erde beschreiben, möglicherweise Ihre gewünschte Lösung auswählen (z. B. passt die Bewegungsrichtung nur zu einer der Lösungen und im Extremfall eines HEO zu einer der Lösungen). Lösungen werden mit der Erdoberfläche kollidieren).

Wie ich bereits erwähnt habe, gibt es meines Wissens keine analytische Lösung, um dieses Problem zu lösen. Einige vorgeschlagene numerische Methoden / Reihenerweiterungen umfassen:

• Lagrange-Battin (1977)
• Gauß-Battin (1971)
• Battin (Elegant Algorithm) (1984) ( hier )

unter anderem. Eine Übersicht über das Lambert-Problem wird von D. de la Torre Sangrà und E. Fantino hier (und hier ) gegeben.

Ein generisches Lambert-Lösungsverfahren könnte sein:

1. Berechnen Sie die geometrischen Parameter der Übertragung

2. Erhalten Sie eine anfängliche Schätzung für den freien Parameter

3. Iteriere auf der Übertragungszeitgleichung bis zur Konvergenz

4. Berechnen Sie die Orbitalelemente

In [Bate1971] (Kapitel 5) wird eine detailliertere Erklärung des Problems zusammen mit vorgeschlagenen Methoden/Algorithmen zur Lösung des Lambert-Problems gegeben.

Ich hoffe, es hilft!

[Bate1971] Donald D. Mueller, Jerry White und Roger R. Bate, Grundlagen der Astrodynamik, 1971