Wie kann ich diesen Masse-Feder-Effekt reproduzieren? [geschlossen]

Basierend auf dem reinen Betrachten eines ein paar Sekunden langen Videoclips, ohne in die Interna der Software einzudringen, scheint es plausibel, dass sich der Ball auf dem Bildschirm gemäß den Bewegungsgleichungen für einen ungezwungenen 2D-gedämpften harmonischen Oszillator bewegt. Vermietung$x$Und$y$seien Koordinaten des Balls, und$(x_{\rm eq},y_{\rm eq})$sei die Position des Gleichgewichts der Feder (von der Sie sagten, dass sie die Position ist, an der Ihr Finger den Bildschirm berührt), sind die Bewegungsgleichungen

$$\begin{eqnarray} m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + k (x-x_{\rm eq}) = 0 \\ m \ddot{y} + \gamma \dot{y} + k (y-y_{\rm eq}) = 0 \\ \end{eqnarray}$$ Wo$m$ist die Masse der Kugel,$\gamma$ein Koeffizient ist, der die Reibungsstärke beschreibt, und$k$ist die Federkonstante. Alle drei dieser Parameter sollten im Code einstellbar sein. Das Beispiel im Video sieht aus, als wäre es überdämpft, was bedeutet, dass$\gamma^2>4 m k$. ( Hyperphysik hat eine gute Beschreibung verschiedener Verhaltensregime für den gedämpften harmonischen Oszillator)

Man muss auch Anfangsbedingungen angeben. Ich gehe davon aus, dass der Simulator die obigen Gleichungen mit der Gleichgewichtsposition löst, wenn Sie auf den Bildschirm tippen$(x_{\rm eq}, y_{\rm eq})$Dabei handelt es sich um die Position Ihres Fingers und die Anfangsposition und -geschwindigkeit um die Position und Geschwindigkeit des Balls zum Zeitpunkt des Antippens des Bildschirms.

Die letzte Zutat, die man braucht, sind Randbedingungen, um zu sagen, was der Ball tut, wenn er den Rand des Bildschirms erreicht. Ich vermute, der Code verwendet reflektierende Randbedingungen, also zum Beispiel in dem Moment, in dem die$x$Koordinate trifft entweder den minimal oder maximal zulässigen Wert von$x$, die Geschwindigkeit in der$x$Richtung ändert Vorzeichen.

Um dies tatsächlich zu codieren, können Sie im Allgemeinen Standardalgorithmen verwenden, um die Differentialgleichungen zu integrieren, z. B. ein Runge-Kutta-Verfahren . Oder Implementierungen dieser Methoden in der von Ihnen verwendeten Programmiersprache. Für dieses spezifische Problem, das linear ist, können Sie eine analytische Lösung verwenden (explizite Formel, die die Bewegung angibt), siehe beispielsweise Gleichung 72 der Anmerkungen zu Wellen und Schwingungen von Richard Fitzpatrick

$$\begin{eqnarray} x(t) &=& A e^{-\gamma t/2} \cos(\omega t - \phi) \\ y(t) &=& B e^{-\gamma t/2} \cos(\omega t - \psi) \\ \end{eqnarray}$$ Wo$\omega=\sqrt{k/m}$und wo$A, B, \phi, \psi$sind Konstanten, die gewählt werden, um die Anfangsbedingungen zu erfüllen (nämlich, dass die Anfangsposition$(x(0), y(0))$und die Anfangsgeschwindigkeit$(\dot{x}(0),\dot{y}(0))$der Position und Geschwindigkeit des Balls zum Zeitpunkt der Berührung des Bildschirms entsprechen).