Wie kann ich für eine quadratische Platte, die nur an einer Kante auf TTT erhitzt wird, zeigen, dass die Temperatur in der Mitte T/4T/4T/4 beträgt?

Schau dir einfach die Physik an, wenn das Ausgangsproblem eine Lösung hat und du die Platte drehst$\pi/2$Sie erhalten eine andere Lösung mit umgedrehten Randbedingungen$\pi/2$. Führen Sie das gleiche Verfahren zwei weitere Male durch, und Sie erhalten am Ende vier Lösungen mit entsprechenden vier unterschiedlichen Randbedingungen, die gedreht werden$0$,$\pi/2$,$\pi$,$3/2 \:\pi$bzw.

Jede dieser Lösungen erreicht im Hinblick auf die axiale Symmetrie beispielsweise den gleichen Wert$u$, in der Mitte der Platte. Das$u$ist die Unbekannte des Problems.

Da das System linear ist, erhält man durch Summieren aller dieser Lösungen eine Lösung mit Randbedingungen, die durch die Summe der vier Randbedingungen gegeben sind.

Es ist leicht zu sehen, dass die gesamten Randbedingungen nichts anderes sind$U_0$an jeder Plattenkante. Eine Lösung dieses Problems ist trivialerweise die Konstante$u(x,y)=U_0$und dies ist aufgrund des Eindeutigkeitssatzes die einzige Lösung. Insbesondere im Mittelpunkt steht wieder der Wert$U_0$. Es muss mit übereinstimmen$4u$.

Daher$u = U_0/4$.

So sehr ich Valters Herangehensweise liebe, bin ich ein wenig ungläubig in Bezug auf die$u_0/4$Wert. Also beschloss ich, zu versuchen, den Wert „auf die harte Tour“ zu bestimmen.

$$u_{xx}+u_{yy}=0$$ $$u(0,y)=0,u(L,y)=0$$ $$u(x,0)=0,u(x,L)=u_0$$ Dies ergibt: $$u(x,y)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}A_n\sinh\Big(\frac{n\pi y}{L}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ Und mit der vierten Randbedingung: $$u(x,L)=u_0=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}A_n\sinh(n\pi)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ $$A_n\sinh(n\pi)=\frac{2}{L}\int_0^Lu_0\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)dx$$ $$A_n=\frac{2u_0}{L\sinh(n\pi)}\int_0^L\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)dx$$ $$A_n=\frac{2u_0}{n\pi\sinh(n\pi)}\big(1-(-1)^n\big)$$ So dass: $$u(x,y)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2u_0}{n\pi\sinh(n\pi)}\big(1-(-1)^n\big)\sinh\Big(\frac{n\pi y}{L}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ $$u(x,y)=\frac{2u_0}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\big(1-(-1)^n\big)}{n\sinh(n\pi)}\sinh\Big(\frac{n\pi y}{L}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi x}{L}\Big)$$ In der Mitte der Platte $(L/2,L/2)$: $$u(L/2,L/2)=\frac{2u_0}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\big(1-(-1)^n\big)}{n\sinh(n\pi)}\sinh\Big(\frac{n\pi }{2}\Big)\sin\Big(\frac{n\pi }{2}\Big)$$ $$u(L/2,L/2)=\frac{2u_0}{\pi}\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cosh ((k+1/2)\pi)}$$ wo wir verwendet haben $\sinh 2x = 2\sinh x \cosh x$, haben wir die Summe auf ungerade ganze Zahlen beschränkt $n= 2k+1$da die Begriffe sogar entsprechen $n$verschwinden. Endlich $\sin(\pi(k+1/2))= (-1)^k$.

Von dieser Seite wo

$$1/\cosh x$$ ist mit bezeichnet $$\mbox{Sech}[x]\:,$$ wir haben

$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)\cosh ((k+1/2)\pi)}= \frac{\pi}{8}$$ so dass $$u(L/2,L/2)=\frac{2u_0}{\pi} \frac{\pi}{8} = \frac{u_0}{4}\:.$$

(Diese Antwort ist eine gemeinsame Arbeit von Gert und V.Moretti)

---

Nachfolgend finden Sie 3D- und Konturdiagramme für $u(x,y)$mit $L=1$, $u_0=100$und die ersten fünf verwenden $(n=1,2,3,4,5)$Terme (die geraden Terme sind Null), mit dem Plotting-Tool von Wolfram Alpha:

Offensichtlich sind mehr Begriffe erforderlich, um die genau darzustellen$u(x,1)=100$Zustand.