Wie kann ich intuitiv feststellen, ob eine Teilmenge eines metrischen Raums geschlossen oder offen ist? [geschlossen]

In einem solchen Kontext ist es nützlich, sich an die folgende Eigenschaft kontinuierlicher Abbildungen zu erinnern: Die Urbilder offener Mengen sind offen und die Urbilder abgeschlossener Mengen sind geschlossen.

Wir können nun jeden Fall einzeln betrachten.

(a) Let$f:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$definiert werden als$f(x,y) = y - x^{2}$.

Dann können wir das sagen$A$ist geöffnet, weil$A = f^{-1}(-\infty,0)$Und$(-\infty,0)$ist offen, wo$f$ist kontinuierlich.

(b) Lassen Sie uns in ähnlicher Weise definieren$g:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$als$g(x,y) = x^{2} + y^{2} - 1$.

Dann können wir das sagen$A$ist geschlossen, weil$A = g^{-1}(\{0\})$Und$\{0\}$geschlossen ist, wo$g$ist kontinuierlich.

(c) Eine solche Menge ist weder offen noch abgeschlossen. Das liegt daran, dass die rationale Zahl egal ist$q\in\mathbb{Q}$man wählt, jede offene Kugel$B_{\varepsilon}(q)$ist nicht enthalten$\mathbb{Q}$. Andererseits,$\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$. Daher$\mathbb{Q}\not\supseteq\overline{\mathbb{Q}}$.

(d) Lassen Sie uns definieren$f:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$als$f(x,y) = x$Und$g:(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2})\to(\mathbb{R},|\cdot|)$als$g(x,y) = y$.

Daher können wir das sagen$A$ist geschlossen, weil$A = f^{-1}([0,\infty))\cap g^{-1}([0,+\infty))$und der Satz$[0,+\infty)$geschlossen ist, wo beides$f$Und$g$sind kontinuierlich.

Hoffentlich hilft das!

Oftmals ist es sehr praktisch, mit Sequenzen zu arbeiten, da ihre Eigenschaften beispielsweise sehr gut mit Kontinuität harmonieren. Angenommen, Sie haben einen metrischen Raum$(X,d)$und eine Teilmenge$A\subseteq X$die Sie wissen möchten, ob es geschlossen ist. Eine Möglichkeit wäre, dies zu tun$\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$sei eine konvergente Folge in$A$mit Begrenzung$x\in X$. Wenn du das zeigen kannst$x\in S$, dann folgt das$S$ist geschlossen. Dies ist einfach eine sequentielle Charakterisierung abgeschlossener Mengen. Darüber hinaus können Sie dies auch verwenden, wenn Sie dies zeigen möchten$A$ist stattdessen geöffnet, da dies äquivalent zu ist$X\setminus A$geschlossen werden.

Lassen Sie mich Ihnen nun ein Beispiel geben, wie dies verwendet werden kann, um zu zeigen, dass eine Menge geschlossen ist, indem Sie sich eine Ihrer Mengen ansehen. An dieser Stelle möchte ich auch darauf hinweisen, dass Ihre Mengen für beliebige metrische Räume keinen Sinn ergeben. Wir betrachten also den metrischen Raum$\mathbb{R}^2$unter der standardmäßigen euklidischen Metrik und den zwei Teilmengen

$$S_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+y^2=1\},$$ $$S_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\in\mathbb{Q}\}.$$

Lassen$\{(x_n,y_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$sei eine konvergente Folge in$S_1$mit Begrenzung$(x,y)\in X$. Das bedeutet für alle$n\in\mathbb{N}$wir haben das

$$x_n^2+y_n^2=1.$$

Nehmen Sie nun die Grenze davon als$n\to\infty$wir bekommen das

$$1=\lim_{n\to\infty}\left(x_n^2+y_n^2\right)=x^2+y^2$$

durch Kontinuität. Daher$(x,y)\in S_1$, und so$S_1$ist geschlossen.

Kommen wir nun zu$S_2$. Seit$\mathbb{Q}$ist dicht drin$\mathbb{R}$wir können lassen$\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}$sei eine Folge in$\mathbb{Q}$mit Begrenzung$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Lassen Sie dies einfach$\{y_n\}_{n\in\mathbb{N}}$sei eine beliebige konvergente Folge in$\mathbb{R}$mit Begrenzung$y\in\mathbb{R}$. Das bedeutet, dass$\{(x_n,y_n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ist eine konvergente Folge in$S_2$mit Begrenzung$(x,y)\in\mathbb{R}$, aber$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, diese Grenze ist nicht in$S_2$. Daher$S_2$ist nicht geschlossen.

Darüber hinaus können wir ein ähnliches Argument verwenden, um dies zu zeigen$S_2$ist nicht geöffnet. Betrachten Sie also das Set

$$\mathbb{R}^2\setminus S_2 =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\in\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}.$$

Seit$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ist dicht drin$\mathbb{R}$Wir können ein ähnliches Argument verwenden, um eine Folge irrationaler Zahlen zu konstruieren, deren Grenzwert rational ist, und daraus eine Folge konstruieren$\mathbb{R}^2\setminus S_2$mit Begrenzung drin$S_2$, was das zeigt$\mathbb{R}^2\setminus S_2$ist nicht geschlossen, und daher$S_2$ist nicht geöffnet.

Eine offene Menge ist eine Vereinigung offener Bälle. Dies mag zunächst kontraintuitiv sein, aber ein Rechteck$(a,b)\times (c,d)$in der Ebene ist die Vereinigung offener Scheiben: Wählen Sie eine dichte Teilmenge von Punkten im Rechteck, und nehmen Sie an jedem dieser Punkte die größte offene Kugel, die im Rechteck enthalten ist. Dann ist die Vereinigung all dieser Kugeln genau das Rechteck.

Dies kann ein bisschen Intuition in Bezug auf offene Mengen geben.