Wie kann ich vorhersagen, wie die Orbitalzustandsvektoren eines Objekts in der Zukunft aussehen werden?

Es gibt zwei Möglichkeiten. Einer besteht darin, numerisch von der aktuellen Zeit in die zukünftige Zeit zu integrieren. Das ist konzeptionell am einfachsten und am einfachsten zu implementieren (eine gute Integrationsroutine vorausgesetzt). Andererseits ist es am rechenintensivsten, am anfälligsten für akkumulierte numerische Fehler, je nachdem, wie weit Sie gehen müssen, und bietet keinen Einblick in die Umlaufbahn.

Für Situationen, die nicht Ihr Zwei-Körper-Problem sind, ist das wirklich die einzige Option.

Die zweite besteht darin, die sechs Orbitalelemente aus den sechs Komponenten von Position und Geschwindigkeit abzuleiten (unter der Annahme einiger Konventionen für$t=0$). Das sagt viel über die Zukunft des Objekts aus, wie z. B. Größe, Form und Ausrichtung der Umlaufbahn und die Umlaufdauer. Aus den Elementen kann man mit ein paar einfachen Formeln die Position und Geschwindigkeit zu jedem späteren Zeitpunkt berechnen, ohne über die Zeiten dazwischen integrieren zu müssen. Nehmen wir wieder Ihr Zwei-Körper-Problem an.

Um die Frage in den Kommentaren zu beantworten, können die Position und Geschwindigkeit unter Verwendung der Orbitalelemente auf diese Weise berechnet werden. In der Ebene der Umlaufbahn, wo$\mu$ist der$GM$,$a$ist die große Halbachse,$e$ist die Exzentrizität, und$\tau$ist die exzentrische Anomalie (mehr dazu gleich):

$x=a\left(\cos\tau-e\right)$

$y=a\sqrt{1-e^2}\sin\tau$

$z=0$

$v_x=-\sqrt{\mu\over a}{\sin\tau\over 1-e\cos\tau}$

$v_y=\sqrt{\mu\over a}{\sqrt{1-e^2}\cos\tau\over 1-e\cos\tau}$

$v_z=0$

Sie können diese Koordinaten dann auf die tatsächliche Ebene der Umlaufbahn drehen, indem Sie eine Euler-Rotation mit den Winkeln anwenden$\Omega$,$i$, und$\omega$, wobei dies die Länge des aufsteigenden Knotens, die Neigung bzw. das Argument der Periapsis sind.

Die exzentrische Anomalie geht aus$0$zu$2\pi$über eine Umlaufbahn und ist ein bequemer Zeitersatz. Es ist mit der Zeit verbunden durch:

$t=\sqrt{a^3\over\mu}\left(\tau-e\sin\tau\right)$

Es ist keine Lösung in geschlossener Form zu erhalten$\tau$aus$t$, also musst du das numerisch lösen. Oder wenn Sie zum Beispiel zeichnen, können Sie die Koordinaten berechnen und$t$alle ab$\tau$und parametrisch plotten.

Dies alles setzt die Konvention voraus$t=0$und$\tau=0$befindet sich in der Periapsis. Sie müssen ausgleichen$t$für deine Lösung, da ich davon ausgehe, dass du das wollen wirst$t=0$in Ihrem Anfangszustand zu sein, der wahrscheinlich nicht in Periapsis ist. Hier kommt das sechste Orbitalelement für die Anomalie ins Spiel.

Dies wird Ihnen die Antwort in einem gefälschten Koordinatensystem für das Zwei-Körper-Problem geben, das verdammt nahe am realen Koordinatensystem liegt, wenn der Körper, der umkreist wird, viel, viel schwerer ist als das umkreisende Objekt. Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, müssen Sie die Koordinaten für beide Körper wieder in die reale Situation umwandeln, da beide ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt umkreisen. Ein Beispiel für diesen Fall ist der Mond, der die Erde umkreist.

@Stu, ich werde einige Informationen aus der Perspektive der Bewegungsgleichungen hinzufügen. Diese Kommentare sind eher auf das Problem der künstlichen Satelliten, die die Erde umkreisen, ausgerichtet – zusätzliche Körper und Störungen werfen vieles davon aus dem Fenster, aber einige Grundlagen bleiben bestehen. Entschuldigung im Voraus, wenn Sie dies bereits wissen.

Wir machen einige Annahmen über die relativen Massen der beiden beteiligten Körper und nehmen an, dass der zentrale Körper eine weitaus größere Masse hat. Wir nehmen auch einen Trägheitsreferenzrahmen an und dass die Körper Punktmassen sind. Unter Verwendung dieser können wir die 2BP-Bewegungsgleichung entwickeln, wo$r$ist der Positionsvektor vom Massenmittelpunkt des zentralen Körpers zum zweiten Körper

$$\ddot{\vec{r}}=-\frac{\mu}{r^2} \frac{\vec{r}}{r}$$

Nun, die Tatsache, dass wir eine haben$r^3$im Nenner sollten Sie sich keine Sorgen machen - Dies ist das umgekehrte quadratische Schwerkraftgesetz und das zusätzliche$r$Waage$\vec{r}$einen Einheitsvektor zu erzeugen. Das sieht in geschlossener Form etwas umständlich zu lösen aus, da wir eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung haben (die auch noch gekoppelt ist wegen der$r$Begriff). Es gibt 3 ODEs zweiter Ordnung, die als 6 ODEs erster Ordnung ausgedrückt werden können. Wenn Sie Zugang zu einem numerischen Integrator haben, brauchen Sie jetzt nur noch Anfangsbedingungen für Ihre Positions- und Geschwindigkeitsvektoren (die 6 Zustände), stellen Sie Ihre gewünschte Zeit ein und los geht's. Sie können dieses Problem genauso einfach zeitlich rückwärts wie vorwärts propagieren.

In Bezug auf Umlaufelement- und Positionsgeschwindigkeitsumwandlungen hat das ungestörte Zweikörperproblem im Wesentlichen einen Freiheitsgrad, nämlich Ihre Wahl der Anomalie in der Ebene. Mit einer spezifizierten Anomalie können Sie jede der beiden anderen berechnen. Angesichts der mittleren Anomalie$M$, können Sie iterieren, um die exzentrische Anomalie zu finden$E$, und bestimmen Sie von dort aus die wahre Anomalie$\nu$(Achten Sie darauf, Quadrantenmehrdeutigkeiten mit der Arkustangensfunktion zu vermeiden).

$$M=E-e\sin{E}$$

$$\tan{\frac{\nu}{2}} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}$$

Die Ausbreitung der Anomalien ermöglicht es, die Umlaufbahn leichter zu visualisieren, als Positions-/Geschwindigkeitsvektoren zu beobachten. Es gibt zahlreiche Open-Source-Routinen zum einfachen Konvertieren (normalerweise rv2oe oder rv2coe genannt) zwischen Position/Geschwindigkeit und Orbitalelementen. Dies ist eine gute Website für die Softwaresammlung von Vallado .