Wie kann man die Einschwingzeit eines überdämpften Systems abschätzen?

Bei Systemen mit echten Polen in der linken Halbebene können Sie sie normalerweise abschätzen, indem Sie nur den dominanten Pol (den Pol mit der niedrigsten Frequenz) berücksichtigen. In Ihrem Fall wäre dies$p_d=-2$. Das Ergebnis wird genauer, wenn der nicht dominante Pol ($p_{nd}$) entfernt sich weiter vom dominanten Pol.

Indem Sie nur den dominanten Pol betrachten, erhalten Sie eine ziemlich einfache Gleichung:

$$\begin{align} \frac{5}{4}\cdot e^{-2t}&=0.02\cdot \frac{5}{8} \\ t &= -\frac{1}{2}\cdot \ln\left( 0.02\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{4}{5} \right) \approx 2.30258509299s\\ \end{align}$$

Die Idee ist, dass der nicht dominante Pol bei$p_{nd}=-4$führt zu einem Begriff$e^{-4t}$das so schnell dämpft, dass es die Gesamteinschwingzeit nicht beeinflusst. Der Vorteil ist die Einfachheit der Gleichung und die Tatsache, dass es in elektronischen Schaltungen tatsächlich ziemlich häufig vorkommt, dass es einen sehr dominanten Pol und weit entfernte nicht dominante Pole gibt.

In Ihrem speziellen Fall ist es möglich, die Einschwingzeit analytisch zu berechnen. Die Zeit, die die zeitabhängigen Terme benötigen, um auf 2 % des Endwerts abzufallen, kann wie folgt berechnet werden (ähnlich wie bei Andys Antwort, aber unter Verwendung des Absolutwerts):

$$\begin{align} \left| e^{-4t}-2\cdot e^{-2t} \right| &=0.02 \\ &\Updownarrow (y=e^{-2t})\\ y^2-2\cdot y &= \pm 0.02 \\ &\Updownarrow (\text{There are 4 distinct solutions, but I only take the relevant one}) \\ y = e^{-2t} &= 1 - \frac{7}{5\sqrt{2}} \\ &\Updownarrow \\ t &= -\frac{1}{2}\cdot \ln\left(1 - \frac{7}{5\sqrt{2}}\right) \approx 2.30006613189s \end{align}$$

Also Faktor 2 für$p_{nd}/p_d$führt zu einem Fehler von etwa 0,1 % bei der berechneten Einschwingzeit, wenn die Dominant-Pol-Näherung verwendet wird. Ob dies ausreicht, überlasse ich Ihnen.

Ja, Ihre inverse Laplace-Berechnung ist korrekt.

Der endgültige stationäre Wert beträgt 5/8 – dies ist der DC-Wert nach langer Zeit. Sie suchen also wirklich nach dem Rest der Gleichung, der in der Größenordnung auf 2 % von 5/8 fällt: -

$$\dfrac{5}{8}e^{-4t} - \dfrac{5}{4}e^{-2t} = \dfrac{5}{8}\cdot \text{0.02}$$

$$=\dfrac{8}{8}e^{-4t} - \dfrac{8}{4}e^{-2t} = \dfrac{8}{8}\cdot \text{0.02}$$

$$= e^{-4t} - 2e^{-2t} = 0.02$$

Hilft das?

Nun, lassen Sie uns das in einem allgemeineren Fall lösen. Wir haben die folgende Übertragungsfunktion (unter der Annahme eines echten positiven Werts für$\epsilon$):

$$\mathcal{H}\left(\text{s}\right):=\frac{\text{Y}\left(\text{s}\right)}{\text{X}\left(\text{s}\right)}=\frac{1}{\left(\text{s}+\epsilon\right)\left(\text{s}+2\epsilon\right)}\tag1$$

Wenn wir uns die Sprungantwort ansehen, die wir verwenden$\text{X}\left(\text{s}\right)=\mathcal{L}_t\left[\theta\left(t\right)\right]_{\left(\text{s}\right)}=\frac{1}{\text{s}}$, also ist die Ausgabe gegeben durch:

$$\text{Y}\left(\text{s}\right)=\frac{1}{\text{s}}\cdot\frac{1}{\left(\text{s}+\epsilon\right)\left(\text{s}+2\epsilon\right)}\tag2$$

Unter Verwendung der inversen Laplace-Transformation finden wir:

$$\text{y}\left(t\right)=\mathcal{L}_\text{s}^{-1}\left[\frac{1}{\text{s}}\cdot\frac{1}{\left(\text{s}+\epsilon\right)\left(\text{s}+2\epsilon\right)}\right]_{\left(t\right)}=\frac{\exp\left(-2\epsilon t\right)\left(\exp\left(\epsilon t\right)-1\right)^2}{2\epsilon^2}\tag3$$

Es ist nicht schwer zu zeigen, wann$t\to\infty$(unter der Annahme eines echten positiven Werts für$\epsilon$), wir bekommen:

$$\lim_{t\to\infty}\text{y}\left(t\right)=\frac{1}{2\epsilon^2}\tag4$$

Nun, für die Eingewöhnungszeit wollen wir die Zeit finden$t$Wenn$\text{n}\text{%}$des Endwertes erreicht ist:

$$\text{y}\left(t_\text{n}\right)=\frac{\text{n}\text{%}}{100}\cdot\frac{1}{2\epsilon^2}\Longleftrightarrow\space t_\text{n}=\dots\tag5$$

Das Lösen ergibt:

$$t_\text{n}=\frac{1}{\epsilon}\cdot\ln\left(\frac{10}{10-\sqrt{\text{n}\text{%}}}\right)\tag6$$