Wie kann man mit der Leibniz-Formel beweisen, dass die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix gleich dem Produkt ihrer Diagonalen ist?

Im Wesentlichen soll gezeigt werden, dass nur die Identitätspermutation ein Produkt ungleich Null erzeugen kann.

Um dies zu sehen, lassen Sie$\sigma$eine Nichtidentitätspermutation sein. Dann muss es welche geben$k$mit$\sigma(k)<k$. Aber dann das Produkt$\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}$enthält$a_{k\sigma(k)}$die unterhalb der Diagonale liegt und somit das Produkt Null ist.

Dann ist die Determinante notwendigerweise das Produkt der diagonalen Einträge (entsprechend der Identitätspermutation), wie Sie es wünschen.

Bearbeiten: Dies ist für obere Dreiecksmatrizen. Verwenden Sie für die untere Dreiecksmatrix entweder die Transponierung oder passen Sie das Argument entsprechend an.

Beachten Sie, dass wenn$n = 1$, dann ist die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix tatsächlich das Produkt ihres (nur) diagonalen Eintrags.

Nun lass$U = (U_{ij}) \in F^{n\times n}$sei eine obere Dreiecksmatrix, und nehme an, dass das Ergebnis für eine obere Dreiecksmatrix der Dimension wahr ist$n-1$. Unter Verwendung der Kofaktorerweiterung der Determinante mit der ersten Spalte,

$$\det{U} = U_{11} M_{11} + \sum_{i=2}^n U_{i1} M_{i1},$$ Wo$M_{i1}$ist der$(i,1)$kleiner von$U$. Aber seit$U$ist oben dreieckig,$U_{i1} = 0$für jeden$i > 1$, So$\det{U} = U_{11} M_{11}$. Jetzt$M_{11}$ist die Determinante der Matrix, die durch Entfernen der ersten Zeile und der ersten Spalte von gebildet wird$U$, es handelt sich also um eine obere Dreiecksmatrix der Dimension$n-1$. Nach der Induktionsannahme ist seine Determinante also das Produkt seiner Diagonaleinträge$M_{11} = \prod_{i=2}^n U_{ii}$. So $$\det{U} = U_{11} \prod_{i=2}^n U_{ii} = \prod_{i=1}^n U_{ii}.$$ Da das Ergebnis gilt für$n=1$, dann gilt es für jede Dimension$n$.

Dasselbe gilt für eine untere Dreiecksmatrix, aber es kann auch aus dem Fall der oberen Dreiecksmatrix gesehen werden, da die Determinante der Matrix gleich der Determinante ihrer Transponierten ist.