Wie kombiniert man zwei Ungleichungen (komplexe Zahlen)?

Das ist aus einem Buch. Ich verstehe nicht, wie die Ungleichungen zu einer Ungleichung kombiniert werden. Werden sie addiert/subtrahiert?

z 1 Und z 2 sind komplexe Zahlen. Wir haben die Ungleichheiten

| z 2 | − | z 1 | ≤ | z 2 − z 1 |
| z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 − z 2 |
Die Kombination dieser Ungleichungen ergibt
| | z 1 | − | z 2 | | ≤ | z 1 − z 2 |

Versuchen

Wenn ich sie hinzufüge:

| z 2 | − | z 1 | + | z 1 | − | z 2 | ≤ | z 2 − z 1 | + | z 1 − z 2 | 0 ≤ | z 2 − z 1 | + | z 1 − z 2 | 0 ≤ 2 | z 1 − z 2 |
Oder wenn ich sie abziehe:
| z 2 | − | z 1 | − ( | z 1 | − | z 2 | ) ≤ | z 2 − z 1 | − ( | z 1 − z 2 | ) 2 | z 2 | − 2 | z 1 | ≤ | z 2 − z 1 | − | z 1 − z 2 | 2 | z 2 | − 2 | z 1 | ≤ 0

Ich stecke hier fest!

Antworten (3)

Für A , B ∈ R , es hält | A − B | = { B − A Wenn  B ≥ A A − B Wenn  A > B .

Im ersten Fall verwenden Sie eine Ungleichung, im anderen verwenden Sie die andere (offensichtlich | z 1 − z 2 | = | z 2 − z 1 | ).

Betreff sagt komplexe Zahlen.
@mvg Ja, aber er braucht nur die echte Version.
Ich hätte noch eine Sekunde darüber nachdenken sollen, bevor ich es kommentiere. Dennoch wäre es interessant, sich nicht auf diese altbekannte Tatsache zu verlassen, sondern möglichst nur auf die gegebenen Eigenschaften.
@MvG Wie ist die Definition des Absolutwerts einer reellen Zahl keine gegebene Eigenschaft, wenn dies in der Problemstellung erscheint?
@mathematiker Der | z | bei dem Problem handelt es sich um den komplexen Modul z z ¯ , die im Prinzip auch auf reelle Zahlen angewendet werden kann (aka X 2 ).

Wir haben | X | ≤ j iff − j ≤ X ≤ j und mit

| z 2 | − | z 1 | ≤ | z 2 − z 1 |
| z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 − z 2 |
haben
− | z 1 − z 2 | ≤ | z 1 | − | z 2 | ≤ | z 1 − z 2 |
iff
| | z 1 | − | z 2 | | ≤ | z 1 − z 2 |

Hinweis:

| z 1 − z 2 | = | z 2 − z 1 |

Wäre das nicht für einen Kommentar geeignet? Das OP hat gut nachgedacht, und eine so kurze Bemerkung anstelle einer vollständigen Erklärung scheint die Anforderungen einer Antwort nicht zu erfüllen.
Wie kombiniert man zwei Ungleichungen (komplexe Zahlen)?
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