Wie kommt es, dass Winkelgeschwindigkeiten Vektoren sind, Drehungen aber nicht?

Es gibt tatsächlich verschiedene Möglichkeiten, diese Frage zu interpretieren, je nachdem, was Sie unter "Vektor" und "Rotation" verstehen. Aber hier ist ein Sinn, den ich oft über mich selbst gefragt habe: In der Einführung in die Physik wird der Geschwindigkeitsvektor als die zeitliche Ableitung des Positionsvektors (relativ zu einem festen Punkt) definiert. Warum gilt dasselbe nicht für die Winkelgeschwindigkeit - das heißt, warum gibt es keinen "Winkelpositionsvektor", von dem die Winkelgeschwindigkeit abgeleitet werden kann?

In der Tat gibt es das manchmal. Denken Sie an diesen einfachen Fall: Wählen Sie eine einzelne, feste Rotationsachse und berücksichtigen Sie nur Rotationen um diese Achse. (2D-Rotationen, wenn Sie es vorziehen, so zu denken) Sie würden eine bestimmte Ausrichtung als "Ursprung" auswählen, und Sie könnten tatsächlich einen Winkelpositionsvektor definieren, der entlang der Rotationsachse zeigt und dessen Länge dem Betrag entspricht der Drehung relativ zu dieser "Ursprungs"-Ausrichtung.

Angenommen, die Winkelposition Ihres Objekts ändert sich im Laufe der Zeit. Sie können die Ableitung des Winkelpositionsvektors nehmen und hoffentlich sehen, dass Sie nur die gute alte Winkelgeschwindigkeit erhalten. Kein Problem dort.

Aber wir leben in einer 3D-Welt (ungeachtet der Relativität), was passiert also, wenn Sie versuchen, dieses Modell auf 3 Dimensionen zu verallgemeinern? Da stößt man auf Probleme. Nehmen Sie als Beispiel das Objekt aus dem letzten Absatz, das sich um eine bestimmte Achse drehte - sagen wir, die$\hat{z}$Achse. Nehmen wir nun an, es ändert seine Bewegung so, dass es anfängt, sich um eine andere Achse zu drehen, vielleicht um die$\hat{x}$Achse. Wie werden Sie seine Ausrichtung jetzt darstellen?

Sie könnten versucht sein, einen "Winkelpositionsvektor" zu verwenden, der in die zeigt$\hat{z}$Richtung, deren Länge den Betrag der Drehung um die darstellt$\hat{z}$Achse und ein weiterer "Winkelpositionsvektor", der in die zeigt$\hat{x}$Richtung, deren Länge den Betrag der Drehung um die darstellt$\hat{x}$Achse. Schließlich funktioniert das für die Position. Aber es funktioniert nicht für die Winkelposition. Der Grund dafür ist, dass Rotationen nicht pendeln , um den Fachjargon zu verwenden. Das heißt, wenn Sie Drehung A auf ein Objekt anwenden und darauf eine Drehung B folgt, die um eine andere Achse verläuft, erhalten Sie ein anderes Ergebnis als wenn Sie Drehung B gefolgt von Drehung A anwenden.

Dieses kleine Problem steht Ihnen im Weg, wenn Sie versuchen, Ihre beiden zu kombinieren$x$- und$z$- Winkelpositionsvektoren in einen Gesamtwinkelpositionsvektor. Vermutlich würden Sie diesen Gesamtvektor schreiben als$(\theta_x, 0, \theta_z)$(Die Null könnte den Betrag der Rotation um die darstellen$\hat{y}$Achse). Dieser Vektor würde die Summe von darstellen$\theta_x$mal die Rotation der Einheit um die$\hat{x}$Richtung u$\theta_z$mal die Rotation der Einheit um die$\hat{z}$Richtung. Aber es fehlt eine entscheidende Information: Welche dieser Rotationen wurde zuerst durchgeführt? Wenn Sie Ihrem befreundeten Physiker diesen Vektor geben würden, wäre er nicht in der Lage, die Ausrichtung des Objekts zu reproduzieren, weil er nicht weiß, ob er dies ausführen soll$x$-Drehung oder die$z$-Drehung zuerst. Sicher, Sie wissen vielleicht, dass das Objekt in der gedreht wurde$z$-Richtung zuerst, aber diese Informationen müssen im Vektor enthalten sein, damit sie von Nutzen sind.

Der Punkt des letzten Absatzes ist, dass es keine Möglichkeit gibt, lineare Kombinationen dieser "Winkelpositionsvektoren" sinnvoll zu erstellen. Und das macht ihre Nützlichkeit ziemlich zunichte, denn die Fähigkeit, linear kombiniert zu werden, ist absolut grundlegend für die Definition eines Vektors und liegt vielen analytischen Techniken zugrunde, die wir in der Physik verwenden.

Übrigens, in dieser Ansicht funktionieren Matrizen zur Darstellung von Rotationen, weil Matrizen Ihnen eine zusätzliche Operation bieten, die Multiplikation, mit der Sie sie kombinieren können. Es kommt vor, dass die Matrizenmultiplikation für bestimmte Matrizen (3x3 antisymmetrisch mit Determinante 1) dieselben Eigenschaften hat wie das Zusammensetzen von Rotationen; vor allem ist es auch nicht kommutativ. Die Multiplikation von Matrix A mit Matrix B kann zu einem anderen Ergebnis führen als die Multiplikation von Matrix B mit Matrix A.

Dies ist ein Hinweis darauf, warum Winkelgeschwindigkeiten Vektoren sind, um die hervorragenden Erklärungen von Matt und David zu ergänzen, warum Rotationen dies nicht sind.

Wenn wir sagen, dass etwas eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit hat$\vec{\omega_1}$, meinen wir, dass jeder Teil des Dings eine ortsabhängige Geschwindigkeit hat

$\vec{v_1}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r}$.

Wir könnten einen weiteren dieser Anträge in Betracht ziehen

$\vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_2} \times \vec{r}$

und frage mich, was passiert, wenn wir sie hinzufügen. Wir bekommen

$\vec{v_1}(\vec{r}) + \vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r} + \vec{\omega_2} \times \vec{r}$.

Das Kreuzprodukt ist linear, also ist dies äquivalent zu

$(\vec{v_1} + \vec{v_2})(\vec{r}) = (\vec{\omega_1} + \vec{\omega_2}) \times \vec{r}$,

Daher ist es durchaus sinnvoll, Winkelgeschwindigkeiten durch Vektoraddition zu addieren.

Definierende Eigenschaften von Vektoren sind, dass Sie sie addieren und mit Konstanten multiplizieren können. Beides macht Sinn für Winkelgeschwindigkeiten. Andererseits macht das Hinzufügen von Drehungen keinen Sinn. Was Sie mit zwei Rotationen tun können, ist, sie zusammenzusetzen: zuerst in eine Richtung drehen, dann in eine andere drehen. Diese Operation sieht nicht wie eine Addition aus. Zum einen pendelt es nicht. Etwas drehen$30$Grad um die$x$-Achse, dann$60$Grad um die$y$-axis, ist nicht dasselbe wie diese beiden Operationen in der entgegengesetzten Reihenfolge auszuführen. (Wenn Sie dies noch nie getan haben, nehmen Sie ein Objekt und versuchen Sie es!) Die mathematische Operation, die Drehungen entspricht, muss also etwas sein, das Nichtkommutativität ausdrücken kann. Matrizen funktionieren dafür ganz natürlich; für zwei Matrizen A und B gilt das im Allgemeinen nicht$AB = BA$.

Du verwechselst verschiedene Dinge. Eine Rotationstransformation ist eine Transformation von Vektoren in einem linearen Raum – eine solche Transformation muss keine Winkelgeschwindigkeiten oder ähnliches haben, und sie muss nicht einmal etwas mit einer mechanischen Rotation zu tun haben.

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Rate einer physikalischen Drehung, gemessen als$\vec\omega=d\vec\theta/dt$, wo$\vec\theta$ist auch ein Vektor, das Rotationsanalog der Verschiebung.

Jedenfalls die$\vec\theta$ist nicht dasselbe wie die Rotationsmatrix. Letzteres ist eine Funktion von$\vec\theta$, aber eine Matrix kann verwendet werden, um viel mehr Dinge als nur eine Rotation darzustellen. Beachten Sie, dass eine Rotation selbst immer noch als zeitabhängige Matrix modelliert werden kann, z$\vec{x}(t)=A(t)\vec{x}(0)$, aber die Matrix ist immer noch nicht dasselbe wie der Rotationswinkel.

Anmerkung: Ich war ein bisschen hinterhältig, als ich das behauptete$\vec\theta$ist ein "Vektor" - das ist es wirklich nicht, obwohl es zufällig 3 Komponenten in 3 Dimensionen hat, also ist es üblich, die "xy"-Komponente als die "z"-Komponente, "xz" als die "y"-Komponente, "yz" zu schreiben " als "x", aber im Allgemeinen ist es am besten, sich Winkel als (2, 0)-Tensoren vorzustellen$\theta^{\mu\nu}$. Interessanterweise ist die Rotationstransformation ein (1, 1)-Tensor$A^{\mu}{}_{\nu}$.

Dies mag zunächst nicht intuitiv sein, aber ich denke, es ist wertvoll, um die Beziehung zwischen Rotationsmatrizen und Winkelgeschwindigkeiten zu verstehen. Ich weiß auch, dass es die Frage nicht direkt beantwortet, aber ich spüre, dass das OP verwirrt ist, und dies könnte helfen.

Also gegeben die Rotationsmatrizen$E_1$und$E_2$Wie lässt sich für zwei verbundene starre Körper deren Winkelgeschwindigkeitskinematik ermitteln? Wie ist$\vec{\omega}_1$im Zusammenhang mit$\vec{\omega}_2$?

Angenommen, die beiden Rotationsmatrizen sind durch eine einzige Rotation um eine Achse miteinander verbunden$\hat{z}$lokal zum ersten Körper und Winkel$\theta$so dass

Leiten Sie die obige Gleichung ab, um mit der Ableitung des Drehrahmens zu den Winkelgeschwindigkeiten zu gelangen .

Dann mit der Kettenregel

das gilt nur wann

Die obige Gleichung beschreibt die Rotationskinematik des Verbindungsgelenks und wird aus der Rotationsfolge abgeleitet. Ebenso für kompliziertere Verbindungen.

Die zeitliche Ableitung der Rotationsfolge ergibt die winklige Rotationskinematik.

Die Winkelgeschwindigkeit wird im Koordinatensystem als geradliniger Vektor dargestellt. Sofort sehen wir einen Konflikt zwischen den Richtungen des Vektors und der physikalischen Größe. Das heißt, die Theorie der Vektoren ist ein unzureichendes Modell physikalischer Winkelgrößen. Diese Vektoren werden Pseudovektoren genannt. Dieses Problem ist im Artikel "Winkelvektoren in der Vektortheorie" https://doi.org/10.5539/jmr.v9n5p71 beschrieben . Diese Winkelvektoren bilden die Winkelrichtung im Koordinatensystem nach, sie liegen in der Ebene, in der sich die physikalische Größe befindet. Der Artikel beschreibt alle grundlegenden Eigenschaften des Winkelvektors. Dakzhe hat bewiesen, dass das Ergebnis eines Kreuzprodukts von Vektoren kein geradliniger Vektor sein kann. Das Ergebnis des Kreuzprodukts der Vektoren ist der Winkelvektorhttps://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Cross_product#Cross_product_does_not_exist .

Ich kenne mich mit einigen Aspekten der Frage nicht aus, werde aber eine Antwort geben, die nichts mit anderen zu tun hat.

Ein Objekt kann sich so schnell drehen, dass einige Darstellungen der Winkelgeschwindigkeit nicht gültig sein können. Wenn sich beispielsweise ein Objekt um mehr als 180 Grad oder 360 Grad (pi oder 2*pi Radianten) pro Zeiteinheit dreht, muss die Darstellung in der Lage sein, solch große Winkel darzustellen.

Aber für einige Zwecke und in bestimmten Darstellungen ist die Orientierung oder der Rotationswinkel oder die Rotationsgeschwindigkeit durch die Darstellung inhärent auf pi oder 2*pi im Bogenmaß begrenzt und kann daher keine Rotationsgeschwindigkeit über einen bescheidenen Wert hinaus darstellen. Was typischerweise mathematisch passiert, ist, dass die Ausrichtung/Drehung/Winkelgeschwindigkeit auf den unterstützten oder darstellbaren Bereich „abgeschnitten“ wird, der normalerweise -pi bis +pi oder -2*pi bis +2*pi ist.

Während dies das Objekt zum berechneten Zeitpunkt oft in der richtigen Ausrichtung belässt, verbirgt es vollständig, wie viele Umdrehungen seit dem vorherigen Zustand (berechnet zum vorherigen Zeitpunkt) stattgefunden haben. Dies ist für einige Zwecke physikalisch WILD falsch. Wenn beispielsweise ein Teil des schnell rotierenden Objekts mit einem anderen Objekt kollidiert, ist die berechnete Aufprallgeschwindigkeit am Kontaktpunkt erheblich niedriger als der tatsächliche Wert.

Schlimmer noch, oft führt dieser Fehler dazu, dass sich das Objekt in die falsche Richtung dreht! Betrachten Sie beispielsweise, was passiert, wenn sich ein Objekt während des fraglichen Intervalls um 718 Grad (um eine/irgendeine Achse) dreht. Dies scheint eine Drehung von -2 Grad zu sein, die sowohl "viel langsamer" als die Realität ist, aber auch in die entgegengesetzte Richtung der Realität.

Ich glaube, dies ist ein guter Grund, Quaternionen und bestimmte andere Darstellungen für die Winkelgeschwindigkeit niemals zu übernehmen ... zumindest in jedem System, in dem die Winkelgeschwindigkeit möglicherweise Pi Radiant pro Sekunde (oder Pi Radiant pro Zeitintervall) überschreiten kann.