Wie kommt man von Relationen zu Äquivalenzrelationen zu Äquivalenzklassen?

Ich kenne alle 3 Entitäten, die ich in meiner Frage aufgelistet habe. Ich kenne die Definitionen von "reflexiv", "symmetrisch" und "transitiv". Ich fürchte jedoch, ich verstehe den "Fluss" nicht mechanistisch, wie wir letztendlich Äquivalenzklassen aus einer bestimmten Beziehung generieren, die die 3 Eigenschaften der Äquivalenz aufweist.

Betrachten Sie das folgende Beispiel, um meine Verwirrung zu veranschaulichen:

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Lassen R 1 eine Beziehung sein auf S so dass X − j ist teilbar durch 3

Also, erstens, nach dem, was ich über Beziehungen verstehe, werde ich alle Ordnungspaare finden, die dies erfüllen (diese geordneten Paare sind eine Teilmenge des kartesischen Produkts S X S ).

R 1 = { ( 1 , 4 ) ( 2 , 5 ) ( 3 , 6 ) ( 4 , 1 ) ( 5 , 2 ) ( 6 , 3 ) ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 ) ( 4 , 4 ) ( 5 , 5 ) ( 6 , 6 ) }

OK Cool. Dies sind alle geordneten Paare, die "befriedigen" oder "machen". R 1 Beziehung wahr".

Für diese gegebene Beziehung kann ich Folgendes beobachten:

1 - Die reflexive Eigenschaft ist aufgrund des Vorhandenseins von erfüllt ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) ,   e T C

1. Frage : Wenn zum Beispiel (6,6) nicht in dieser Menge war, R 1 konnte nicht als reflexiv angesehen werden, weil ( 3 , 6 ) Und ( 6 , 3 ) sind vorhanden, richtig? (dh weil das Element "6" als geordnetes Paar erscheint, ( 6 , 6 ) MUSS auch auftauchen, um diese Relation als reflexiv zu deklarieren)

2 – Die Symmetrieeigenschaft ist erfüllt wegen des Vorhandenseins von ( 1 , 4 ) & ( 4 , 1 ) , ( 2 , 5 ) & ( 5 , 2 ) ,   e T C

3 - Die transitive Eigenschaft ist erfüllt, weil ...

2. Frage : Ich verstehe eigentlich nicht sofort, warum die transitive Eigenschaft erfüllt ist (ich glaube, dass die transitive Eigenschaft erfüllt sein sollte , weil die Beziehung "Kongruenz modulo n" eine Äquivalenzbeziehung ist ... und ich bin mir ziemlich sicher, dass die Beziehung R 1 das ich beschrieben habe, ist von dieser Form). Liegt es nur daran, dass meine Menge zu klein ist, um die transitive Eigenschaft in ihrer stereotypen Form zu sehen?

Unter der Annahme, dass diese Beziehung eine Äquivalenzbeziehung IST (ich glaube, dass sie es ist ... aus dem oben genannten Grund), verstehe ich wirklich nicht, wie wir von diesem einzelnen Satz geordneter Paare zu Äquivalenzklassen kommen. Aus Beispielvideos, die ich gesehen habe, weiß ich, dass ein Satz von Ganzzahlen mod 3 drei Äquivalenzklassen erstellt ... nämlich die Ganzzahlen mit Rest 0, 1 und 2, wenn sie durch 3 geteilt werden.

3. Frage : Allerdings verstehe ich mechanistisch nicht wirklich, wie wir diese geordneten Paare "trennen". Alle geordneten Paare werden zunächst zusammen gruppiert. Wie entscheiden wir, von dieser Initiale R 1 Menge, welche geordneten Paare gehören zu welcher Äquivalenzklasse? Wenn Sie wissen, wie Mod 3 funktioniert, können Sie natürlich erahnen, dass 1 und 4 zusammenpassen, weil

1 M Ö D ( 3 ) = 4 M Ö D ( 3 )

...allerdings, wenn ich nichts darüber wüsste wie M Ö D ( 3 ) funktioniert hat, woher weiß ich, wie ich die entsprechenden Partitionen erstellen kann?

Antworten (3)

  1. Wenn ( 6 , 6 ) ∉ R 1 , Dann R 1 wäre nicht reflexiv, einfach weil R 1 reflexiv zu sein bedeutet das ( ∀ N ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ) : ( N , N ) ∈ R 1 .
  2. Es ist transitiv, weil if 3 ∣ X − j Und 3 ∣ j − z , Dann 3 ∣ ( X − j ) + ( j − z ) . Aber das bedeutet das 3 ∣ X − z . Das beweist das also
    X R 1 j  Und  j R 1 z ⟹ X R 1 z .
  3. Betrachten Sie die Zahl 1 . Für welche Zahlen N ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ) haben wir 1 R 1 N ? Es ist leicht zu sehen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn N = 1 oder N = 4 . Also die Äquivalenzklasse von 1 Ist { 1 , 4 } . Nehmen Sie nun ein Element von { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ∖ { 1 , 4 } . Angenommen, Sie haben genommen 5 . Für welche Zahlen N ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ) haben wir 5 R 1 N ? Es ist leicht zu sehen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn N = 2 oder N = 5 . Also die Äquivalenzklasse von 5 Ist { 2 , 5 } . Und jetzt fängst du wieder von vorne an und nimmst ein Element aus { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ∖ ( { 1 , 4 } ∪ { 2 , 5 } ) …
Als Sie sagten N = 1 Und N = 2 , Meinten Sie N ≡ 1 Und N ≡ 2 ( Mod 3 ) ?
Nein. Ich habe geschrieben, was ich schreiben wollte.
1 R 1 N tritt auf iff N = 1 oder 4
@JWTanner Du hast Recht… wie immer. Ich habe meine Antwort bearbeitet. Danke schön.
Ohhh, danke für die hervorragende Antwort ... das macht den "Zweck", die Äquivalenz mit den Eigenschaften von Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu definieren, irgendwie intuitiv.

1. Nein. Ohne ( 6 , 6 ) die Beziehung wäre nicht reflexiv, weil 6 ∈ S . Wenn Sie mit streiten wollen ( 6 , 3 ) , ( 3 , 6 ) ∈ R , das würdest du zeigen R ist nicht transitiv, wenn ( 6 , 6 ) wird vermisst.

2. Nein, ich würde eher sagen, dass die Menge zu groß ist , um sofort zu sehen, dass alle Fälle von Transitivität erfüllt sind. Im Prinzip (d. h. nur mit den konkreten Elementen von argumentieren R , nicht algebraisch), müssten Sie jedes Paar von Paaren einchecken R , und wenn sie von der Form sind ( A , B ) , ( B , C ) Überprüfen Sie, dass ( A , C ) ∈ R . Das ist eine Menge zu überprüfen, wenn die Beziehung unangenehm groß ist.

3. Die Äquivalenzklassen bestehen nicht aus Paaren ∈ R , sondern von Elementen ∈ S . Wir können die Klassen nacheinander aufbauen: Was ist die Äquivalenzklasse von 1 ∈ S ? Aus ( 1 , 4 ) ∈ S , wir sehen das 4 ist auch in der Äquivalenzklasse von 1 . Da wir keine zusätzlichen Beziehungen finden, die involviert sind 1 und/oder 4 (abgesehen von den entsprechenden reflexiven und symmetrischen Paaren) schließen wir daraus, dass die Äquivalenzklasse von 1 (sowie von 4 ) Ist { 1 , 4 } . Ähnlich finden wir die anderen Äquivalenzklassen { 2 , 5 } Und { 3 , 6 } . Um zu betonen, dass die Klassen keine Paare sind: Had S größer gewesen, die Äquivalenzklasse von 1 hätte sein können { 1 , 4 , 7 } .

Wenn Sie Ihr Set nur ein wenig erweitern würden, würden Sie sehen, dass Transitivität auftritt. Betrachten Sie den Satz { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } Zum Beispiel. Jetzt deine R 1 enthält ( 1 , 4 ) , ( 4 , 7 ) Und ( 1 , 7 ) .

Sobald Sie wissen, dass Sie eine Äquivalenzrelation haben, können Sie beispielsweise nur einen Repräsentanten auswählen 1 , um die Paare darzustellen ( 1 , 4 ) , ( 1 , 7 ) und auch ( 4 , 7 ) durch Transitivität.

Wie kommt man von Relationen zu Äquivalenzrelationen zu Äquivalenzklassen?
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