Wie man eine rationale Zahl m/nm/nm/n mit Brüchen a/ba/ba/b so annähert, dass das Produkt ababab gegeben ist

Betrachten Sie eine bestimmte rationale Zahl$\alpha=m/n$und lass$N$eine positive ganze Zahl sein. Gibt es eine Möglichkeit, die bessere rationale Annäherung zu finden?$x/y$von$\alpha$zwischen all dem Bruch so dass$xy=N,$mit$x,y$nicht unbedingt teilerfremd? Ich habe eine intuitive Idee, aber das ist nicht wirklich nützlich, wenn$N$ist groß und ich bin mir nicht einmal sicher, ob es im Allgemeinen richtig funktioniert.

Ich erkläre diese Idee mit einem konkreten Beispiel.

Vermuten$\alpha=3/8$und lass$N=20=2^2\cdot 5.$Der „genaue“ Zustand$x/y=3/8$bedeutet, dass es eine ganze Zahl gibt$u$so dass$x=3u,y=8u.$Verwenden$xy=20$Ich finde, dass der genaue Zustand wann realisiert wird$u=\sqrt{5/6}.$Dann$y=8\sqrt{5/6}\sim 7.3$Wenn ich die bessere Annäherung an meine Einschränkung will, sollte ich sie bekommen$y$der nächste Teiler von$20$Zu$7.3$von oben und unten, die sind$10$Und$5.$Die entsprechende Näherung sind$4/5$Und$2/10$und durch eine einfache Prüfung sehen wir das$2/10$ist die bessere Näherung.

Diese Strategie kann ein großes Problem haben, wenn$N$ist riesig: insbesondere wenn seine Faktorisierung unbekannt ist oder wenn er viele Teiler hat. Gibt es eine Möglichkeit, dieses Problem ziemlich einfach zu behandeln? Ich weiß, dass es einige Strategien gibt, die das Abschneiden der fortgesetzten Brüche verwenden, aber die Einschränkung des Produkts scheint nicht gut zu sein, um auf diese Weise behandelt zu werden.

Zum Beispiel, wie kann ich das Problem wann lösen$N=15!$Und$\alpha=19/37$?