Wie man über offene Mengen und stetige Funktionen auf diskreten Metriken nachdenkt

Ich arbeite mich durch Übungsaufgaben für das Mathe-Fach GRE (das scheint mir alles Analysis und Algebra zu sein, obwohl ich gehört hatte, dass es hauptsächlich multivariate Kalküle waren). Dabei kam dieses Problem:

Lassen Z + sei die Menge positiver ganzer Zahlen und sei D eine Metrik sein Z + wie folgt definiert werden:

D = { 1 , Wenn  M ≠ N 0 , Wenn  M = N

Welche der folgenden Aussagen ist wahr:

1) Für alle n ∈ Z + , { N } ist offen

2) Jede Teilmenge von Z + ist geschlossen

3) Jede reellwertige Funktion definiert auf Z + ist kontinuierlich.

Ich habe große Probleme, diese Behauptungen mit einer diskreten Metrik zu bewerten, und ich hätte gerne etwas Hilfe, um zu klären, wie ich über sie denke. Alle drei sind wahr, aber es ist mir nicht klar warum. Genauer:

1) Ist jeder Punkt einer solchen Menge ein innerer Punkt? Um dies zu beurteilen, muss der offene Ball, den wir ziehen, (n-1, n+1) sein? Ist es sinnvoll, einen kleineren offenen Ball als diesen zu zeichnen, wenn die Entfernungen in dieser Metrik entweder 0 oder 1 sind? Ich habe das Gefühl, dass die natürliche sprachliche Bedeutung von "innerem Punkt" hier versagt, weil die natürliche Vorstellung von "innen" keinen Sinn ergibt.

2) Dies hängt offensichtlich von einem ab, da wir testen, ob es geschlossen ist, indem wir prüfen, ob das Komplement offen ist.

3) Es ist mir nicht klar, warum das wahr ist; Ein Teil davon ist, dass es wie in 1) nicht klar ist, ob wir Epsilons und Deltas als andere Werte als 1 oder 0 auswählen können.

Antworten (4)

Lassen X sei ein beliebiger metrischer Raum, dessen Abstandsfunktion D erfüllt

D ( X , j ) = 1 Wenn X ≠ j
Dann für alle X ∈ X , die offene Kugel mit Radius 1 2 , zentriert bei X , ist nur die Singleton-Menge { X } . Daher sind alle Singleton-Mengen offen. Hinweis: Obwohl ich mich für Radius entschieden habe 1 2 , jede positive real R ≤ 1 hätte die gleichen Singletons-Mengen ergeben.

Da jede nichtleere Menge eine Vereinigung von Singletons ist und beliebige Vereinigungen offener Mengen offen sind, folgt daraus, dass alle Teilmengen von X sind offen.

Aber dann alle Teilmengen von X geschlossen sind (da ihre Komplemente offen sind).

Bei beliebiger Funktion F aus X zu jedem topologischen Raum Y , das inverse Bild einer offenen Teilmenge von Y ist eine Teilmenge von X , ist also offen in X . Deshalb F ist kontinuierlich.

Mir ist immer noch unklar, wie Sie einen offenen Ball mit Radius 1/2 betrachten können. Sind die einzig möglichen Entfernungen in dieser Metrik nicht 0 und 1? Der Rest Ihrer Erklärungen ist klar; Ich bin immer noch unscharf darüber, wie das anfängliche Set geöffnet ist und alles.
Wenn X ist ein metrischer Raum mit Abstandsfunktion D , dann für alle P ∈ X , und jede positive reelle Zahl R , die offene Kugel mit Radius R , zentriert bei P , ist als Menge definiert
{ X ∈ X ∣ D ( P , X ) < R }
Notiz: R muss positiv sein, ist aber ansonsten willkürlich und ist nicht auf den Satz von Abstandswerten beschränkt.

1. Offene Bälle in einer Metrik helfen Ihnen festzustellen, wie nahe zwei Punkte beieinander liegen. Je mehr offene Bälle sich um einen herum befinden, die den anderen enthalten, desto näher sind sie sich gewissermaßen. Die diskrete Metrik besagt, dass alle Punkte gleich weit voneinander entfernt sind. Es gibt also einen kleinsten geschlossenen Ball, der sie alle enthält, und einen kleinsten offenen Ball, der nur das Zentrum enthält.

3. Der ε in der Definition von Stetigkeit kann jede positive reelle Zahl sein, einschließlich alles dazwischen 0 Und 1 .

Die Äquidistanz in der diskreten Metrik ist hier nicht wirklich der Punkt; Alles hier macht Sinn mit Topologie, die gut durchgeht, wenn Sie eine Metrik mit niedrigerer Grenze verwenden.
Mir ist nicht klar, wie es überhaupt Sinn macht, über Kugeln mit einem anderen Radius als 0 oder 1 zu sprechen; sind das nicht die einzig möglichen abstände? Ebenso für die Definition von Kontinuität; Wie können Sie sagen (in Bezug auf die Stetigkeit bei, sagen wir, n), für alle F ( M ) so dass D ( F ( M ) , F ( N ) ) < ϵ ? Wenn Epsilon kleiner als 1 ist, bleibt nur 0 übrig. Wenn Epsilon größer als 1 ist, bleiben 0 und 1 übrig. Aber so oder so, es ist schwer vorstellbar, was das bedeutet. Es scheint jedoch, als würde sogar ein Radius von 1 funktionieren; eine offene Kugel mit Radius eins enthält immer noch nur das einzelne Element der Singleton-Menge
@BenL B 1 / 2 ( X ) = { j ∈ X : D ( X , j ) < 1 / 2 } = { X } in diesem Raum. Die Definition funktioniert genauso, es ist nur so, dass "der offene Ball mit Radius 1 / 2 „Das ist nur ein Punkt.
@BenL Es macht immer noch Sinn, über andere Entfernungen als zu sprechen 0 Und 1 . Eine Kugel mit Radius 1 2 um den Punkt A ist alles in einer Entfernung von 1 2 von A . Es stellt sich nur heraus, dass es keine Punkte gibt, die dies erfüllen, außer A .
Aha! Das ist sehr hilfreich. Zusammenfassend sagen wir, wenn wir diese diskrete Metrik auferlegen, nicht, dass es keine anderen Abstände als 0 und 1 gibt, sondern dass es keine Punkte gibt, deren Abstände diese Abstände sind . Danke!
@BenL Du hast recht.

Zu 1: Ja, jeder Punkt ist ein innerer Punkt im topologischen Sinne. Der verwendete Radius muss nicht sein 1 , nur etwas weniger als 1 . Der Punkt ist, dass es in der diskreten Topologie "Raum" gibt, in dem man herumwackeln kann, ohne überhaupt an andere Punkte zu stoßen. Sie können dies daran erkennen, dass die diskrete Topologie die Unterraumtopologie der Einbettung ist Z + hinein, sagen wir, R mit der euklidischen Topologie.

Zu 3: Du kannst es nur topologisch prüfen. Der Punkt ist, dass es immer eine Umgebung um jeden Punkt gibt, in der eine Funktion stetig ist. Dies liegt daran, dass Singletons Nachbarschaften sind, was wiederum intuitiv durch diesen „Spielraum“-Punkt im vorherigen Absatz erklärt wird.

Ein Satz U in einem metrischen Raum ( X , D ) ist offen, wenn für alle X ∈ U , es gibt einige R > 0 so dass

B ( X , R ) := { j ∈ X : D ( X , j ) < R } ⊆ U
Für U = { X } ⊂ Z + , B ( X , R ) = { X } = U für alle R ≤ 1 , So { X } in der durch induzierten metrischen Topologie offen ist D An Z + für alle X ∈ Z + . Dies impliziert, dass die metrische Topologie auf Z + ist diskret. In einer diskreten Topologie sind alle Teilmengen sowohl offen als auch abgeschlossen (da jede Menge eine Vereinigung von Punkten ist und Vereinigungen offener Mengen offen sind; jede Menge hat auch ein offenes Komplement und ist daher geschlossen) und jede Funktion mit einem Bereich besitzt eine diskrete Topologie ist kontinuierlich (da das Urbild jeder Menge offen sein wird, einschließlich des Urbilds jeder offenen Menge).

Wie man über offene Mengen und stetige Funktionen auf diskreten Metriken nachdenkt
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