Wie realisiere ich eine Übertragungsfunktion mit mehreren Nullstellen?

Die Antwort, vor der interessanten Ablenkung:

Eine PID + eine zweite Ableitung reichen aus:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Mit Übertragungsfunktion:

$$H(s) = -\frac{R_{11}}{R_6} C_1 R_1 C_2 R_2 s^2 - \frac{R_{11}}{R_7} C_3 R_3 s + \frac{R_{11}}{R_{10}}\frac{R_6}{R_5} + \frac{R_{11}}{R_9} \frac{1}{R_4 C_4 s}$$

Welche entspricht Ihrer Übertragungsfunktion von:

$$H(s) = As^2 + Bs + C + \frac{D}{s}$$

Sie haben die Anzeichen nicht erwähnt$A$,$B$,$C$Und$D$.

Wenn Sie die Anzahl der Operationsverstärker reduzieren möchten, können Sie die PID-Operationsverstärker mithilfe der Informationen aus diesem Artikel zu einem kombinieren.

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Mit Übertragungsfunktion:

$$H(s) = K \frac{(s/z_1 + 1)(s/z_2 + 1)}{s (s/p_1 + 1)(s/p_2 + 1)}$$

Hier,$p_1$Und$p_2$sind zusätzliche Nullen. Ideale PID-Regler haben beides nicht, "gefilterte abgeleitete" PID-Regler haben nur$p_1$, und "Typ 3" PID haben beides. Weitere Informationen finden Sie im Artikel.

Wo:

$$R_1 = Z_{in}\qquad R_2 = \frac{R_1 z_2}{p_1 + z_2}\qquad R_3 = \frac{R_1 p_2 K}{z_1 (p_2 - z_1)}$$

$$C_1 = \frac{p_1-z_2}{R_1 z_2 K}\qquad C_2=\frac{p_2 - z_1}{R_1 p_2 K}\qquad C_3=\frac{z_1}{R_1p_2K}$$

Sie können die notwendigen Werte erarbeiten.

Nun zur lustigen Abwechslung:

Ich denke also, dass @Vladimir Cravero richtig ist, eine Übertragungsfunktion mit mehr Nullen als Polen ist unphysikalisch.

Physiker werden darüber in Bezug auf Suszeptibilitäten im komplexen Frequenzbereich (äquivalent zu dem, was EEs als Übertragungsfunktionen im Laplace-Bereich bezeichnen) und die Kramers-Kronig- Beziehungen (KK) nachdenken, dies kann jedoch auf den [Laplace-Bereich ausgedehnt werden ] (siehe Anhang A).

Wir wissen, dass die Faltungstheorie es uns erlaubt, Antwortfunktionen im Zeitbereich ($h(t) \rightarrow H(s)$) und wandeln sie in Übertragungsfunktionen im Laplace-Bereich um:

$$H(s)V(s) = \mathcal{L}\left\{ \int_{-\infty}^{t} h(t-\tau)v(\tau)d\tau \right\}$$

Das verlangen wir allerdings$h(>0)$Ist$0$, andernfalls reagiert die Übertragungsfunktion auf Reize, die noch nicht geschehen sind. Um sicherzustellen, dass diese Anforderung eingehalten wird, wird sichergestellt, dass eine solche Funktion den KK-Beziehungen im Laplace-Gebiet gehorcht.

Die KK-Beziehungen haben zwei Anforderungen:

• Analytizität in der rechten Halbebene des Laplace-Raums. Das bedeutet keine Pole in der rechten Halbebene.
• $\lim_{s\rightarrow \infty} H(s) = 0$, und außerdem, dass es mindestens so schnell auf Null geht wie$1/|s|$. (Dies kann anscheinend etwas entspannter sein, aber ich bin mir nicht sicher, wie oder wie viel.)

Diese Anforderungen sind sinnvoll: Wir können für kein reales System irgendeine Art von Verstärkung für unendliche Frequenzen haben (Energieerhaltung erfordert dies), und alle Pole in der rechten Halbebene würden auch zu Energieerhaltungsverletzungen führen, zu denen endliche Eingaben führen würden Endlich unendliche Kraft.

Angesichts dieser Anforderungen liefern uns die Kramers-Kronig-Beziehungen eine Beziehung zwischen dem Real- und dem Imaginärteil der Übertragungsfunktion:

$$\Re\{H(s)\} ∝ PV \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Im\{H(s')\}}{s'-s}ds'$$

$$\Im\{H(s)\} ∝ PV \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\Re\{H(s')\}}{s'-s}ds'$$

Wo$PV$steht für Cauchys Hauptwertintegral .

Letztendlich ist dieses Integral eigentlich nicht so wichtig, aber wir müssen sicherstellen, dass die Übertragungsfunktionen den Anforderungen der KK-Beziehungen gehorchen.

Für ein System, in dem es mehr Nullen als Pole gibt, ist es ziemlich trivial zu zeigen, dass dies nicht gilt.

Aber warte! Während @Vladimir Cravero letztendlich Recht hat, ist die Realisierung einer physikalischen Übertragungsfunktion mit mehr Nullen als Polen nicht möglich, da wir die Kausalität brechen würden, @Chu hat auch Recht, dies wird ständig mit PID-Reglern gemacht. Was gibt?

Die Antwort ist, dass PID-Regler (und alle realen Systeme) Tiefpassfilter haben, die die Bandbreite des Systems angeben. Die Ordnung dieses Tiefpassfilters wird durch die Ordnung des Systems bestimmt. Bei PID-Reglern wird dies in der angezeigt$K_d$,$K_i$Und$K_p$Werte. Wir haben eigentlich keine perfekten Operationsverstärker, bei denen dies nur Zahlen sind, sie müssen immer auch einen Tiefpassfilter enthalten, der die Bandbreite des Operationsverstärkers angibt, und dies fügt einen zusätzlichen Pol hinzu. Darüber hinaus enthält die Antwort des Dings, das wir fahren, einen Tiefpassfilter (wie es jedes physikalisch realisierbare System tun muss).

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Anmerkungen:

• Die KK-Beziehungen sind auch als Hilbert-Transformation bekannt , was ich bei der Recherche für diesen Beitrag herausgefunden habe. Dies könnte ein bekannterer Name hier in der EE-Community sein.

• Es ist möglich, dass sich hier Tippfehler eingeschlichen haben. Es ist auch möglich, dass es (seltsame) realwertige Kausalsysteme gibt, die den KK-Beziehungen nicht gehorchen, aber dennoch kausal sind. Dies wäre ein Analogon zu nicht-hermitischen Hamiltonianern, die zufällig reellwertige Eigenwerte und Eigenvektoren in der Quantenmechanik haben. Ich bin mir darüber nicht sicher. [Bearbeiten: Dieses Papier sollte angeschaut werden, wenn Sie an dieser Frage interessiert sind]

• Dies gilt eigentlich weiterhin in der Kleinsignalgrenze für nichtlineare Systeme. Die nichtlinearen KK-Beziehungen sind immer noch eine Sache, Referenzen auf Anfrage erhältlich.