Wie sieht der J₂₂-Moment der Erde aus?

Repräsentiert J ₂₂ den Rest des Quadrupolmoments der Erde?

Mit einer gebräuchlicheren Schreibweise l _Grad , m _Ordnung gibt es die zonalen l ₂ m ₀ , tesseralen l ₂ m ₁ und sektoralen l ₂ m ₂ sphärischen Harmonischen, aber Sie kennen sie wahrscheinlich bereits.

Wie sieht J22 _aus ? Wie ist seine Form und Symmetrie?

Hier ist, was ich für l ₂ m ₂ bekomme :

Zum Vergleich, hier ist, was ich für Ihr Diagramm "Beschleunigungsgröße" (l ₂ m ₀ ) bekomme (es ist nicht klar, was 800 darstellt):

Wikipedia geht tatsächlich detailliert auf die Komponenten des Gravitationskraftfeldes der Erde ein.

In der Wikipedia-Referenz haben wir nicht$J_{m,n}$für$m>n>0$. Vielmehr wird dieser Term in eine Cosinus-Komponente zerlegt$C_n^m$und eine Sinuskomponente$S_n^m$. Diese Tabelle enthält Ergebnisse von einem aus einer Reihe von Modellen, die als JGM-Modelle bezeichnet werden und vom Goddard Space Center entwickelt wurden:

Zonale Koeffizienten

$$\begin{array}{|c|c|c|}\ n\\ \hline 2&-0.1082635854D-02\\ 3&0.2532435346D-05\\ 4&0.1619331205D-05\\ 5&0.2277161016D-06\\ 6&-0.5396484906D-06\\ 7&0.3513684422D-06\\ 8&0.2025187152D-06\\ \end{array}$$

Tesserale Koeffizienten [sic; Fälle mit$n=m$sind sektoral]

$$\begin{array}{|c|c|c|} n&m&C&S\\ \hline 2&1&-0.3504890360D-09&0.1635406077D-08\\ 2&2&0.1574536043D-05&-0.9038680729D-06\\ 3&1&0.2192798802D-05&0.2680118938D-06\\ 3&2&0.3090160446D-06&-0.2114023978D-06\\ 3&3&0.1005588574D-06&0.1972013239D-06\\ 4&1&-0.5087253036D-06&-0.4494599352D-06\\ 4&2&0.7841223074D-07&0.1481554569D-06\\ 4&3&0.5921574319D-07&-0.1201129183D-07\\ 4&4&-0.3982395740D-08&0.6525605810D-08\\ \end{array}$$

Hier$D$bedeutet Multiplizieren mit einer Zehnerpotenz, deren Exponent also folgt$D-05$bedeutet multiplizieren mit$10^{-5}$. Die absoluten Werte der obigen Zahlen stellen die relative Stärke des Gravitationspotentials dar, das sich aus der sphärischen harmonischen Komponente ergibt, in einem Abstand, der gleich dem durchschnittlichen Erdradius ist, und mit der isotropen Komponente "sphärische Masse" (was wäre$J_0$in dieser Nomenklatur) skaliert auf$1.0$.

Nehmen wir nun an, Sie bringen einen Satelliten in eine niedrige Erdumlaufbahn, in einem radialen Abstand, der im Wesentlichen gleich der oben verwendeten Referenz ist. Unter den Quadrupolkomponenten eindeutig$J_2$ist am größten, mit$C_2^1$Und$S_2^1$viele Größenordnungen kleiner, und$C_2^2$Und$S_2^2$dazwischen fallen. Sie können den Quadrupol daher vertretbar nur mit dem beschreiben$(2,0)$($J_2$) Und$(2,2)$($C_2^2$,$S_2^2$) Komponenten, wobei die sehr kleinen ignoriert werden$(2,1)$Stücke.

Aber das ist nicht die ganze Geschichte. Während die verbleibende Quadrupolkomponente in der Nähe der Erdoberfläche winzig ist, einige polare Komponenten höherer Ordnung ($n\ge 3$) sind nicht. Wenn Sie die einschließen$(2,2)$Komponenten des Quadrupols zur Modellierung Ihrer erdnahen Bahnbewegung sollten Sie auch mindestens die ähnlich großen einbeziehen$(3,0)$,$(3,1)$Und$(4,0)$Begriffe, um Ihre Genauigkeit gegenüber dem rotationssymmetrischen Quadrupol wirklich zu verbessern. Die Abweichungen von einem rituell symmetrischen Quadrupol sind komplexer als nur eine zusätzliche Quadrupolkomponente.

Der Grund dafür ist, dass die Abweichungen von einem rotationssymmetrischen Quadrupol durch die Verteilung von großräumigen geografischen Merkmalen wie Gebirgszügen, Becken und tektonischen Subduktionsgrenzen bestimmt werden. Solche Merkmale auf der Erde sind zu komplex, um von einer oder zwei sphärischen harmonischen Komponenten erfasst zu werden. Wenn Sie die geologische Komplexität der Erde erfassen müssen, um Ihren Satelliten zu modellieren, benötigen Sie dazu viele sphärische harmonische Terme.

Sie können die Dinge vereinfachen, wenn Sie stattdessen Ihren Satelliten in eine große Höhe bringen, sagen wir eine geostationäre Umlaufbahn. Die Komponenten mit größer$n$Werte verblassen schneller mit der Entfernung als solche mit kleineren Werten, sodass Sie diese je nach der von Ihnen benötigten Genauigkeit möglicherweise auslassen$(3,m)$Und$(4,0)$Komponenten. Die geografischen Warzen, die wir aus der Nähe sehen, werden durch eine weiter entfernte Betrachtung geglättet. Das ist, wo Sie am ehesten Erfolg haben werden$J_2$,$C_2^2$, Und$S_2^2$.

Die Erde ist nicht der einzige Körper mit solchen Gravitationskomplexitäten. Jeder scheinbar hydrostatisch ausgeglichene, aber solide Körper wird wahrscheinlich seine eigenen geografischen Unebenheiten haben. Insbesondere Mars hat den großen Höhenunterschied zwischen Nord und Süd, das Hellas-Becken und Olympus Mons. Wenn wir einen Mars-Orbiter mit hoher Genauigkeit verfolgen wollen, sollten wir besser unsere sphärischen Harmonischen auffrischen.