Wie stellt man sich Matrizen als Observable vor?

Ich hatte auch die Erfahrung "Warum würdest du Maße so definieren?" beim Lernen über hermitische Observablen.

Anfangs habe ich sie einfach gemieden. Ich würde Observables in eine einheitliche Operation übersetzen, gefolgt von einer Messung in der Berechnungsbasis, und so darüber nachdenken. Zum Beispiel war für mich die Z-Observable "nur messen", während die X-Observable "Hadamard anwenden, dann messen" war. Und das$X \otimes X$Beobachtbar war "beide beteiligten Qubits mit einem Hadamard treffen, sie auf ein drittes Qubit CNOTen, dieses Qubit messen und dann die Hadamards rückgängig machen".

Irgendwann fing es an mich zu stören, dass meine Umschreibung der Messungen als Schaltung oft länger war. Ich meine, schau dir nur an, wie viele Worte ich gebraucht habe, um zu beschreiben, wofür ich getan habe$X \otimes X$! Und ich fing auch an , die Matrix der Observablen zu brauchen , um Fragen zu beantworten wie "Wenn ich A messe, wird es die Messung von B durcheinander bringen?". Dann bemerkte ich, wie nützlich sie als Denkwerkzeug waren, und Redewendungen wie „Z-Wert“ und „X-Parität“ fingen an, sich in mein Schreiben zu schleichen … die Observables kamen mir in den Sinn.

1) Was bedeutet es, X und Y als Observablen zu betrachten? Sind es nicht Operationen, die den aktuellen Zustand in einen neuen verändern?

Bedenken Sie Folgendes: Wenn Sie die Reihenfolge eines kontrollierten Z umkehren, haben Sie immer noch dieselbe Operation. Aber wenn Sie die Steuerung und das Gate in einem CNOT vertauschen, erhalten Sie nicht die gleiche Operation:

In gewisser Weise ist das Z-Gatter also "dasselbe" wie eine EIN-Steuerung, und das X-Gatter teilt diese Eigenschaft nicht. Und es kommt auf die Tatsache an, dass, wenn Sie aufschlüsseln, was Z tut, es nichts mit AUS-Zuständen macht, sondern die Amplitude von EIN-Zuständen mit -1 multipliziert.

Sie können eine alternative Steuerung definieren, die "dasselbe" wie das X-Tor ist. In diesem Fall werden Sie feststellen, dass Ihnen die Unterscheidung zwischen wichtig ist$|+\rangle = |0\rangle+|1\rangle$Und$|-\rangle = |0\rangle-|1\rangle$, anstelle der Unterscheidung zwischen EIN und AUS. Und es passiert einfach so, dass, wenn Sie die Funktionsweise des X-Gatters in seine Eigenwerte und Eigenvektoren zerlegen, es verschwindet$|+\rangle$allein, sondern vervielfacht die Amplitude von$|-\rangle$um -1. (Sie können in Quirk mit X-Achsen- und Y-Achsen-Steuerelementen spielen. )

Wenn Sie diese Assoziation zwischen "was Sie in Ruhe lassen" und "was Sie beeinflussen" verallgemeinern, um es auf jede Operation anzuwenden, sprechen Sie am Ende über die Eigenwerte und Eigenräume dieser Operationen. Und das führt ziemlich schnell dazu, sich darum zu kümmern, in welchem ​​Eigenraum einer Operation ein Zustand liegt, und diese Informationen zu messen, und dann einfach an die Operation als Spezifikation für die Messung ihrer Eigenräume zu denken.

Physiker kümmern sich zufällig mehr um den Logarithmus einer Einheitsoperation als um die Operation selbst, weil Sie ihn in Differentialgleichungen einsetzen können. Und die Logarithmusform hat noch andere nette Eigenschaften. Daher neigen wir dazu, über Observablen in Bezug auf den Logarithmus einer Einheitsmatrix, dh einer Hermiteschen Matrix, zu sprechen, anstatt direkt in Bezug auf die Einheitsoperation.

2) Warum führt die Anwendung von X auf |0⟩ zu einer Nicht-Null-Standardabweichung, wenn X|0⟩=|1⟩? Wie gibt es hier eine Variation?

Weil Sie die Operation X mit dem beobachtbaren X verwechseln.

Die Operation X schaltet zwischen EIN und AUS um. Nimmt man seine Eigenzerlegung, findet man Blätter$|+\rangle$allein beim Verneinen$|-\rangle$.

Die Observable X ist eine Beschreibung einer Messung, die zwischen den Eigenräumen der Operation X unterscheidet. Das heißt, sie misst, ob sich das System im$|+\rangle$Zustand oder im$|-\rangle$Zustand.

$|0\rangle$ist weder$|+\rangle$noch$|-\rangle$, es ist eine Überlagerung von beidem, wenn Sie also seinen X-Wert messen, erhalten Sie die Varianz. Zustände ohne X-Wert-Varianz werden nicht von X umgeschaltet, sie werden phasengesteuert.