Wie verifiziert man die Nicht-Negativität einer Dichtematrix?

Eine Dichtematrix, ρ muss hermitesch, normalisiert sein ( T R [ ρ ] = 1 ) und nicht negativ. Nichtnegativität bedeutet, dass es nicht negative Eigenwerte haben sollte. Bei einer gegebenen Dichtematrix sind die ersten beiden Bedingungen einfach zu überprüfen. Aber wie kann man die Nicht-Negativität einer Dichtematrix überprüfen, ohne die Eigenwerte explizit zu berechnen? Die Eigenwertberechnung kann für eine beliebige dimensionale Dichtematrix sehr schwierig sein.

Ich bezweifle, dass es einen anderen Weg gibt, als alle Eigenwerte zu berechnen.

Antworten (2)

Auf einem Computer (und wahrscheinlich auch auf Papier für eine Matrix ohne bestimmte Struktur) besteht die schnellste Lösung darin, eine Cholesky-Faktorisierung zu berechnen und zu sehen, ob das Verfahren fehlschlägt. Dies ist letztendlich ein Sonderfall des Kriteriums in der Antwort von QMechanic, da Sie eine Faktorisierung konstruieren ρ = B B † . (Sie können es durch eine LDL^T-Faktorisierung ersetzen, um die Quadratwurzeln zu vermeiden.)

In einigen Fällen, wenn die Matrix eine spezielle Struktur hat, kann es einfacher sein, Determinanten zu berechnen und das Sylvester-Kriterium zu überprüfen, wie von AccidentalFourierTransform vorgeschlagen.

Ein nicht-negativer (auch bekannt als semi-positiver ) Operator 1 ρ : H → H erfüllt per definitionem

(1) ∀ v ∈ H : ⟨ v , ρ v ⟩   ≥   0.

Für einen komplexen Hilbertraum ein Operator ρ ist halbpositiv gdw

(2) ∃ B :     ρ   =   B † B ,
und iff
(3) ρ  ist auf orthonormaler Basis mit nicht negativen Eigenwerten diagonalisierbar.

Die Charakterisierungen (1) & (2) sind oft einfacher zu handhaben als die Bestimmung der Spektren/Eigenwerte (3).

1 Wir werden Feinheiten mit unbegrenzten Operatoren , Domänen, selbstadjungierten Erweiterungen usw. in dieser Antwort ignorieren.

Würden Sie bitte ein explizites Beispiel geben, das dieses Verfahren veranschaulicht?
@Qmechanic Ihre Fußnote ist nicht erforderlich, was Sie geschrieben haben, ist mit der einzigen Hypothese (von Ihnen angenommen) richtig, dass die Domäne von ρ ist der gesamte Hilbertraum.
@Valter Moretti: Ich stimme zu.
Beachten Sie auch: Wenn H endlichdimensional ist, dann ist das am einfachsten zu implementierende Kriterium für positive Bestimmtheit das Sylvester-Kriterium .
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