Wie versteht man die Definition von Vektor und Tensor?

Es gibt zwei mathematische Konzepte, die beide als Vektor bezeichnet werden. Der erste, der Vektor aus dem linearen Vektorraum, ist das grundlegende "Mehrkomponentenobjekt", über das Sie anscheinend hauptsächlich sprechen. Der zweite Begriff eines Vektors ist ein Mitglied des sogenannten "Tangentenbündels" einer Mannigfaltigkeit. Der zweite Begriff ist derjenige, der äquivalent zum physikalischen Vektor definiert ist.

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Der mathematische lineare Vektorraum

Der mathematische lineare Vektorraum bezieht sich einfach auf jedes Objekt, das addiert, multipliziert, ... aber mehr als eine bloße Zahl sein kann (dh mehr Komponenten haben kann). Ihr mathematischer Vektor könnte zum Beispiel "Obstsammlung" sein, wobei die Basis ein Apfel und eine Orange ist. Sie können zwei Äpfel und dreieinhalb Orangen haben, die durch einen Vektor dargestellt werden$(2,3.5)$. Sie können Ihre Obstsammlung verdoppeln$2\cdot(2,3.5)=(4,7)$, oder Sie können Ihre Obstsammlung zu einer Obstsammlung eines Freundes hinzufügen$A$Äpfel u$O$Orangen$(2,3.5)+(A,O) = (2+A,3.5+O)$. Sie können sogar in „Fruchtschulden“ geraten, indem Sie Obst leihen und essen und negative Obstsammlungen haben. Dies ist ein perfekter mathematischer linearer Vektorraum.

Sie können beispielsweise feststellen, dass bestimmte Arten von Funktionen einen unendlichdimensionalen linearen Vektorraum aufspannen, wobei die Werte der Funktion als Komponenten wirken$V_i \to V_x = V(x)$. Auch hier kann man sogar ein Punktprodukt definieren, indem man über die unendlichen Komponenten summiert$\vec{V}\cdot \vec{W} = \sum_i V_i W_i \to \int V(x) W(x)$. Usw. Dies sollte nur zeigen, dass der mathematische lineare Vektorraum eine Bezeichnung für sehr allgemeine Objekte ist, die weit über die Ausdehnung eines physikalischen Vektors im 3D-Raum hinausgehen.

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Der physikalische Vektor

Wir sprechen von einem Vektor im euklidischen Raum, ohne zu unterscheiden, wo er "lebt". Wenn wir ein Bild des Pfeils von beispielsweise dem Geschwindigkeitsvektor im 3D-Raum zeichnen, meinen wir dann, dass die Spitze des Pfeils tatsächlich den Punkt im Raum berührt, an dem er endet? Sicherlich nicht, das würde nur für den Abstandsvektor gelten.

Wir müssen jetzt eine Linie zwischen Objekten ziehen, die wir in der Physik Vektoren nennen. Eine Art sind die Abstandsvektoren, die sich nicht als Vektor transformieren, es sei denn, sie zeigen vom Ursprung, und "polare" Vektoren, die echten physikalischen Vektoren. Diese Polarvektoren umfassen: Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung und elektrische Intensität. (Vektorprodukte von "axialen" und polaren Vektoren sind auch polare Vektoren.)

Wir wissen, wie sich Punkte im Raum unter Koordinatentransformationen transformieren, und der Geschwindigkeitsvektor ist tatsächlich eine Tangente an zwei unendlich nahe Punkte im Raum. Aus dieser Tatsache können wir ableiten, wie sich die Geschwindigkeit transformiert – die Punkte transformieren sich gemäß der Koordinatentransformation, und der Geschwindigkeitsvektor transformiert sich gemäß der Differenz der Transformation in unendlich nahe Punkte – die Jacobi-Matrix . Dies lässt sich auch für den Beschleunigungsvektor zeigen.

Jetzt wollen wir Gleichungen für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen formulieren - es ist notwendig, dass diese Gleichungen uns die gleichen Ergebnisse liefern, egal wie wir die Situation beschreiben. Daher fordern wir, dass alle anderen Terme in der Gleichung auf die gleiche Weise transformiert werden wie Geschwindigkeit/Beschleunigung unter Koordinatentransformationen. Wahrscheinlich kennen Sie das bereits als Prinzip der Kovarianz . Dies ist die einzige Motivation für die Definition des "wahren physikalischen Vektors".

Wenn wir jedoch eine neue physikalische Größe betrachten, können wir sie nicht einfach als kovariant mit der Geschwindigkeit definieren – wir müssen explizit zeigen, dass sich ein Objekt aufgrund physikalischer Argumente ständig auf diese Weise verändert. Dies ist der Grund, warum die Physiker normalerweise eine bodenständige technische Definition eines Vektors durch Transformation geben, da dies in vielen Fällen die praktischste Formulierung für die eigentliche Berechnung ist.

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Der physikalische Tensor

Physikalische Tensoren treten hauptsächlich im Kontext der Kontinuumsmechanik auf. Sagen wir, wir wollen nicht die Entwicklung eines Punktes verfolgen, sondern eine unendlich kleine Deformation eines unendlich kleinen Würfels. Dazu benötigen wir drei Vektoren, die die Verformung jeder Kante des Würfels zeigen (insgesamt 9 Komponenten), was ihn zu einem "Vektor von Vektoren" macht.

Es ist intuitiv, dass sich jeder dieser 3 Verformungsvektoren, die eine unendlich kleine Verformung zeigen, mit der Jacobi-Matrix transformieren wird. Diese Vektoren sind aber nicht unabhängig voneinander - sagen wir der Würfel dreht sich um einen Winkel - dann mischen sich die 3 Verformungsvektoren und für einen unendlich kleinen Würfel wird dies wieder durch die Jacobi-Matrix ausgeführt. Das heißt, wir multiplizieren jeden Vektor des "Vektors der Vektoren" mit dem Jacobi und mischen sie dann auch zusammen, indem wir den gesamten "Vektor der Vektoren" mit dem Jacobi multiplizieren.

Im Allgemeinen ist das Konzept von Vektoren und Tensoren mit der Linearisierung oder differentiellen Lokalisierung eines gegebenen physikalischen Sachverhalts verbunden, was immer zu Transformationen über die Jacobi-Matrix führt. Es ist eine nicht triviale Aussage der klassischen Physik, die uns sagt, dass wir durch die Beschreibung dieser Linearisierungen das Verhalten des Ganzen beschreiben können.

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Tangentenräume und darin lebende Vektoren

Die genannten physikalischen Vorstellungen lassen sich ohne weiteres mit einigen mathematischen in Einklang bringen. Der intuitivste Weg, um zu erkennen, warum Vektoren nicht im selben Raum leben wie die physischen Punkte, besteht darin, sich eine gekrümmte Oberfläche mit einer Flugbahn darauf vorzustellen. Der Geschwindigkeitsvektor der Bahn zeigt im Allgemeinen "außerhalb" der Oberfläche. Nichtsdestotrotz überspannen alle möglichen Geschwindigkeitsvektoren an einem gegebenen Punkt nur eine zweidimensionale Fläche, die an diesem Punkt die gekrümmte Fläche tangiert.

Mathematiker nehmen diesen Begriff und definieren eine Tangenten-Mannigfaltigkeit an jedem Punkt eines Raums als den Raum von Tangentenvektoren an Trajektorien an einem bestimmten Punkt (sie tun dies mit einem cleveren Trick, der den Begriff "Tangente an eine Trajektorie" wohldefiniert macht). Es kann dann gezeigt werden, dass sich die Tangenten an Trajektorien erneut mit der Jacobi-Matrix transformieren und in jedem Punkt einen mathematischen linearen Vektorraum aufspannen. Wenn wir das gesamte Ensemble von "Tangentenflächen" oder Tangentenmannigfaltigkeiten nehmen, erhalten wir etwas, das wir ein Tangentenbündel nennen.

Physikalische Vektoren leben also tatsächlich in diesen tangentialen Mannigfaltigkeiten, die mit jedem Punkt im Raum verbunden sind, nicht im Raum selbst. Tensoren können auch sehr leicht als "Vektoren von Vektoren" verallgemeinert werden, die in "Tangentenmannigfaltigkeiten mal Tangentenmannigfaltigkeiten" leben.

Die zufällige Struktur des flachen Raumes und der flachen Tangentenmannigfaltigkeit führt zu einer mehr oder weniger harmlosen Verwirrung, die aber gelöst werden muss, sobald wir uns in einer gekrümmten Raum(-zeit) bewegen.

Lassen Sie mich mit einer Tautologie beginnen: Vektoren sind geometrische Objekte, die auf einem Vektorraum leben XD Bisher sagt es nichts, aber wir hatten immer das geistige Bild eines Vektors als Pfeil.

Etwas weiter in der Abstraktion (immer noch mit der Idee eines Pfeils, der einen Vektor darstellt), findet man eine Reihe von Transformationen von Vektoren, die die Eigenschaften von Vektoren bewahren, z. B. in$\mathbb{R}^3$die Drehungen behalten die Eigenschaften von Vektoren${}^*$, einschließlich ihrer Norm. Mathematisch ausgedrückt${}^\dagger$,

$$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \mathbf{R}\vec{V}.$$

Ein Vektor transformiert sich also homogen , dh für jeden Vektor gibt es eine Transformation, aber keine zusätzlichen Terme.

Stellen Sie sich nun vor, Sie haben zwei Kopien von Vektorräumen ... und Sie setzen sie irgendwie zusammen , z. B. beginnen Sie mit$\mathbf{V}$und konstruieren Sie die zusammengesetzte Operation, um dieses neue Ding zu erhalten (lassen Sie es mich nennen)$\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$.

Diese Konstruktion ist so definiert, dass ich, wenn ich die Vektoren drehen möchte, notwendigerweise beide Räume drehe (weil sie Nachbildungen des ersten sind). Also, wenn ich anrufe$\mathbf{T}\in\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$ein Element in diesem neuen Vektorraum, wird es transformieren (unter den gleichen Transformationen des Vektors) wie

$$\mathbf{T}\to \mathbf{T}^\prime = \left(\mathbf{R}\otimes\mathbf{R}\right)\mathbf{T},$$ wobei die erste Drehung auf die erste Kopie wirkt $\mathbf{V}$und das gleiche für die zweite. Moral: $\mathbf{T}$homogen transformieren, aber mit zwei der erwarteten Transformationen eines Vektors.

Man kann das Leben damit verbringen, immer größere neue Vektorräume zu konstruieren, indem man immer mehr Kopien von betrachtet$\mathbf{V}$.

Tensoren... Wie sind sie definiert?

Zutaten:

• Eine Menge von (geometrischen) Objekten.
• Ein Feld (reelle oder komplexe Zahlen sind Ok)
• Eine "Skalierungs"-Operation (Multiplikation) zwischen Elementen des Feldes (Zahlen) und unseren geometrischen Objekten,$\cdot:\mathbb{K}\times \mathbf{V}\to\mathbf{V}$.
• Ein Additionsoperator unter unseren geometrischen Objekten,$+:\mathbf{V}\to\mathbf{V}$.

Bisher haben die obigen Ihre Vektoren (oder Vektorräume) definiert. Aber wie zuvor können Sie eine Gruppe von Transformationen bereitstellen,$G$, wodurch die wünschenswerten Eigenschaften Ihrer Vektoren erhalten bleiben,${}^{\dagger\dagger}$Und

$$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \Lambda\vec{V},\quad \text{for } \Lambda\in G.$$

Daher sagt man, dass unsere Objekte eigentlich Vektoren unter der Gruppe der Transformationen von sind$G$. Daher sollte die Transformationsgruppe in die Zutatenliste aufgenommen werden.

• Eine Gruppe von Transformationen$G$.

TENSOREN

Ein Tensor (in Erweiterung der vorherigen Konstruktion) ist ein geometrisches Objekt, das unter der Gruppe $G$transformiert homogen,

$$\mathbf{T} \to \mathbf{T}^\prime = \Lambda\;\cdots\Lambda \mathbf{T}.$$

Die Anzahl der Transformationselemente definiert den Rang des Tensors.

ANMERKUNG 1: Ein Vektor ist ein Tensor ersten Ranges!

ANMERKUNG 2: Da Tensoren unter einer Gruppe von Transformationen definiert sind, ist ein Tensor unter einer Gruppe möglicherweise kein Tensor (oder zumindest nicht die gleiche Art von Tensor) unter einer anderen Gruppe.

Benötigen wir alle möglichen Koordinatensysteme und Transformationen, um einen Vektorraum zu definieren, oder nur einige davon?

Aus all dem können Sie schließen, dass Sie EIN Koordinatensystem und die Gruppe der Transformationen benötigen. Sofort wird jedes andere Koordinatensystem, das mit dem vorherigen verwandt ist, berücksichtigt.

( Beachten Sie, dass ich Ihren letzten Zweifel nicht verstanden habe, also beende ich ihn hier!)

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${}^*$Die Koordinatentransformation ist eine weitere gültige Gruppe von Transformationen.

${}^\dagger$ $\mathbf{R}$stellt die Rotationstransformation dar.

${}^{\dagger\dagger}$Der Satz von Transformationen ist nicht notwendigerweise eine Rotation.

Mathematisch hat die Idee eines Vektors Vorrang. Sie könnten Objekte definieren, die alle Eigenschaften eines Vektorraums erfüllen, ohne sich auf Komponenten oder irgendetwas zu beziehen.

Aus dem Begriff eines Vektors kann man ableiten, dass es eine maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren gibt und jeder Vektor in Ihrem Vektorraum eindeutig durch eine Linearkombination dieser Basisvektoren dargestellt werden kann . Sie stellen dann den Vektor als Array von Koeffizienten dieser Linearkombination dar.

Da diese Komponenten ein abstrakteres Objekt codieren, müssen sie sich tatsächlich nach einigen Regeln ändern, wenn Sie einen anderen Satz von Basisvektoren wählen .

In Schulen und Einführungsklassen in Physik überspringt man normalerweise die abstrakteren Schritte, um zu den obigen Schlussfolgerungen zu gelangen. Man definiert Vektoren einfach als eine Menge von Koeffizienten in euklidischer Sprache$R^3$Raum, die sich bei Drehungen in einer bestimmten Weise verhalten. Dies entspricht in den einfachsten Anwendungen einer strengeren Definition und hat den Vorteil, dass es sehr nachvollziehbar ist - Sie können sich den Vektor und sein Verhalten bei einem Basiswechsel tatsächlich vorstellen.

Außerdem erfordert dieser Ansatz nicht viel abstraktes Denken und Sie können damit bereits die meisten Probleme der klassischen Mechanik lösen. In Schulen oder im Technikunterricht bedarf es daher kaum einer Verfeinerung des Konzepts. Die abstraktere Art, mit Vektoren zu arbeiten, werden Physiker sowieso lernen, sobald sie anfangen, sich mit der Quantenmechanik zu befassen.

Zusammenfassend besteht der mathematische Ansatz also darin, Vektoren abstrakt zu definieren und dann alle Eigenschaften abzuleiten, die wir kennen - während der physikalische Ansatz darin besteht, einen Vektor durch seine Eigenschaften zu definieren und erst dann etwas über weitere Beziehungen zu erfahren, wenn Sie das Framework tatsächlich erweitern müssen.

Wie kann man das Konzept der Basis- und Koordinatentransformation definieren, ohne den eigentlichen Begriff des Vektors zu vervollständigen?

Wir können nicht. Basen sind Vektoren wie$0$Und$1$sind zu natürlichen Zahlen (wie in Peanos Axiomen ). Wir können mit beginnen$0$, oder$1$, oder auch$376$, aber wir müssen etwas haben, womit wir anfangen können.
Ohne die Basisvektoren können wir keinen Vektorraum definieren (und daher keine Koordinatentransformation) und daher keinen anderen Vektor oder Tensor definieren. Überprüfen Sie diese Frage und beantworten Sie sie .

Stellen diese (Basen) Referenzrahmen dar?

Ja, Basen stellen Referenzrahmen dar.

Benötigen wir alle möglichen Koordinatensysteme und Transformationen, um einen Vektorraum zu definieren, oder nur einige davon?

Um einen Skalar oder Vektor (oder einen Tensor) zu definieren und zu messen, benötigen wir mindestens ein Koordinatensystem, und das reicht aus.

Ein Vektor/Tensor ist eine Zuordnung eines Arrays von Zahlen zu jeder Basis, und diese Arrays werden durch Koordinatentransformationen miteinander in Beziehung gesetzt.

Dies ist zwar keine formale Methode zur Definition von Vektor/Tensor, aber korrekt. Ein Vektor oder ein Tensor ist eine Sammlung (Array) von Basen, und obwohl diese Sammlung in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedlich ist, sind diese Sammlungen für denselben Vektor oder Tensor durch Koordinatentransformationen miteinander verbunden.

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Das Folgende ist ein Versuch, den letzten obigen Punkt und die Notwendigkeit hinter Koordinatentransformationen zu verdeutlichen , beginnend mit dem Beispiel eines Skalars.

Wenn ich a messe$6m$lange Stange mit meinem Lineal (Basis).$2m$In der Länge wird mein Maß sein$3$Einheiten.
Eine andere Wahl der Basis (in einem anderen System) kann sein a$1m$langes Lineal, und dann wird die Länge der Stange sein$6$Einheiten.

Die tatsächliche Länge des Pols – die skalare Invariante – bleibt gleich, während sein Maß in verschiedenen Rahmen (mit unterschiedlichen Basen) unterschiedlich ist. Und wir können Transformationsregeln zwischen den verschiedenen Frames haben, sodass wir, wenn wir das Maß in einem Frame kennen, es in einem anderen berechnen können, ohne die Messung tatsächlich durchzuführen. Beachten Sie auch, dass die Länge des Pols in jedem Rahmen eine Sammlung seiner Basen ist (definiert durch Skalaraddition) .

In ähnlicher Weise haben wir dies für Vektoren nicht$1$Aber$3$Basen. Und der Vektor ist eine Sammlung davon$3$Basen sind diesmal jedoch nicht durch Skalar, sondern sowohl durch Skalar- als auch durch Vektoraddition definiert . Und während diese Basen in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedlich sein können, bleibt der Vektor unveränderlich . Wir haben Transformationsregeln zwischen den verschiedenen Koordinatensystemen.

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Die drei Basen in einem Vektorraum geben uns$3$Komponenten für jeden Vektor. Im Fall von Vektoren kann diese Sammlung von 3 Basen als eine einzige Einheit visualisiert werden, indem eine Vektoraddition angewendet wird. Aber die$3$Basen können auch auf beliebige Weise miteinander kombiniert werden, was mehr als ergibt$3$Komponenten, wobei diese Komponenten nicht den Regeln der Vektoraddition entsprechen. Darüber hinaus können wir mehr als haben$3$Basen. So erhalten wir Tensoren.

Solange wir gezwungen sind, Basen nur nach Skalar- oder Vektoraddition zu kombinieren, ergibt eine beliebige Anzahl von Basen einen Vektor, andernfalls einen Tensor.

Die Einheit, die durch die Kombination der Basen auf unterschiedliche Weise bezeichnet wird – der Tensor – bleibt unveränderlich , und diese Einschränkung gibt uns die Transformationsregeln zwischen verschiedenen Koordinatensystemen (mit unterschiedlichen Basen).

Schließlich kann jede Kombination (oder Sammlung) von Basen, die nicht der Skalar- oder Vektoraddition folgen, nicht visualisiert werden, und daher können wir Tensoren im Allgemeinen nicht als eine einzige kohärente physikalische Einheit wahrnehmen. Aber sowohl aus physikalischer als auch aus mathematischer Sicht sind sie genauso eine Einheit wie Skalare und Vektoren.