Wie verwendet man Integration oder Differentiation, um die Frequenz zu optimieren, um einen bestimmten Phasenwinkel zu erreichen?

Question

Wie verwendet man Integration oder Differentiation, um die Frequenz zu optimieren, um einen bestimmten Phasenwinkel zu erreichen?

Shane Yost

Frage:

Bei konstant auf 8 V Spitze-zu-Spitze gehaltener Quellenspannung wird die Frequenz variiert, bis der Phasenwinkel "Theta" Vr bezogen auf Vs ungefähr 45 Grad beträgt. Notieren Sie den Vpp-Wert über R1 und die Frequenz, bei der "Theta" gleich 45 Grad ist.

Situation:

Zur Verdeutlichung nenne ich R1 den Widerstand in Ohm und Theta Vr den Phasenwinkel.

Ich kann das auf zwei Arten angehen, von dem, was ich weiß. Ich könnte meinen Simulator benutzen und die Frequenz Schritt für Schritt erhöhen. Jedes Mal müsste ich die Reaktanz berechnen und die folgende Berechnung durchführen, um Theta zu bestimmen. Dieser Prozess würde sehr lange dauern, um eine ungefähre Antwort für die Frequenz zu erhalten.

Theta Vr = ARCTAN(Xc/R1)

Xc = Blindwiderstand des Kondensators "Ohm"

R1 = Widerstand "Ohm"

Theta Vr = "Theta" Phasenwinkel von Vr bezogen auf die Quellenspannung (VS)

HINWEIS: Wenn die Quelle auf 8 Vpp und die Frequenz auf 1 kHz eingestellt ist, beträgt Theta Vr = 78,27489 Grad. Wenn die Quelle auf 8 Vpp und die Frequenz auf 1 kHz eingestellt ist, beträgt Theta Vc = 11,72511 Grad.

Der andere Weg, den ich dachte, wäre, eine Formel abzuleiten, die einem Optimierungsproblem ähnelt. Es werden Ableitungen gelöst, für die die Steigung Null ist. Es scheint also, dass ich dies auf die gleiche Weise angehen könnte, wenn ich nach der Frequenz auflöse.

Nehmen wir zum Schluss an, wir möchten den Wert von R1 ändern und diesen Vorgang wiederholen. Es scheint, dass es einen generischen Ausdruck geben muss, bei dem X in Ohm und Y in Frequenz ist, damit diese Berechnung viel weniger mühsam ist.

Irgendwelche Ideen?

Hier ist ein Screenshot der Schaltung zur Verdeutlichung.

Schaltkreis

Hier sind die Parameter, auf die ich meine AC-Quelle eingestellt habe.

Meter

Andi aka

Warum googlen Sie nicht die Phasenbeziehung zwischen Eingang und Ausgang für einen einfachen RC-Tiefpassfilter? Sie sollten eine Formel finden, die funktioniert. Verstehst du komplexe Zahlen?

Antworten (2)

Wie verwendet man Integration oder Differentiation, um die Frequenz zu optimieren, um einen bestimmten Phasenwinkel zu erreichen?

Warum googlen Sie nicht die Phasenbeziehung zwischen Eingang und Ausgang für einen einfachen RC-Tiefpassfilter? Sie sollten eine Formel finden, die funktioniert. Verstehst du komplexe Zahlen?

Matt L. · Answer 1

Der komplexe Spannungszeiger am Widerstand ist

v_{R} = v_{S} \frac{R}{R + \frac{1}{J ω C}} = v_{S} \frac{J ω R C}{1 + J ω R C}

$V_R=V_S\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}= V_S\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}$ Für den Kondensator bekommen wir

v_{C} = v_{S} \frac{\frac{1}{J ω C}}{R + \frac{1}{J ω C}} = v_{S} \frac{1}{1 + J ω R C}

$V_C=V_S\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=V_S\frac{1}{1+j\omega RC}$ Für

V_{R}

$V_R$ Und

V_{C}

$V_C$ Ein ... Haben

45

$45$ Grad Phasenverschiebung in Bezug auf

V_{S}

$V_S$ , müssen wir gleiche Real- und Imaginärteile haben:

ω R C = 1 \Rightarrow F = \frac{1}{2 π R C}

$\omega RC = 1\quad\Rightarrow\quad f=\frac{1}{2\pi RC}$

Natürlich gibt es immer eine frequenzunabhängige Phasenverschiebung von $90$ Grad dazwischen $V_R$ Und $V_C$ .

Jim Dearden · Answer 2

Wenn die komplexe Notation etwas schwierig ist, denken Sie an das Problem in Bezug auf ein einfaches rechtwinkliges Dreieck (à la Pythagoras).

Die „echte“ Komponente des Stroms erhalten wir, wenn wir nur den reinen Widerstand betrachten. (V = IR - Ohmsches Gesetz)

Der „imaginäre“ Strom steht (immer) im rechten Winkel zu diesem „realen“ Strom. Der gemessene Strom (Zeiger) ist die Hypotenuse des Dreiecks.

Um seinen Wert zu berechnen, müssen wir die Reaktanz (Wechselstromwiderstand) des Kondensators kennen. Das ist umgekehrt abhängig von der Frequenz der Quelle und der Größe des Kondensators (in Farad) und kann leicht aus der Gleichung 1/wC berechnet werden, wobei w (leider kein Omega) gleich 2 x pi x ist F .

Für F = 1 KHz und 100 nF (siehe Abbildung) würde dies einen Wert von ergeben

1/((2 x 3,14 x 10^3) x 10^-7) oder ca. 1k6 Ohm

Wie bereits in der vorherigen Antwort erwähnt, erhalten Sie eine Phasenverschiebung von 45 Grad, wenn der „Widerstand“ des Widerstands und die Reaktanz des Kondensators denselben Ohmwert haben. Das einzige, was Sie tun müssen, ist die Frequenz zu berechnen, wenn die Reaktanz gleich dem Widerstand ist. (dh Ihre allgemeine Lösung für Theta = 45 Grad)

In diesem Fall R = 300 (gegeben)

R = 1/(wK)

300 = 1/((2 x 3,14 x F) x 10^-7)

Ordnen Sie die Formel um, um sie nach F aufzulösen

F = 1/((2 x 3,14 x 300) x 10^-7) = 5.305,2 Hz

Keine Notwendigkeit zu raten!

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Shane Yost

Andi aka

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Matt L.

Jim Dearden

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