Wie viel Prozent der primitiven pythagoräischen Tripel haben eine gerade Zahl als kleinstes Bein?

Dies stellt sich als ziemlich komplizierte Frage heraus. Um eine Frage der Form "welcher Anteil einer unendlichen Menge" zu beantworten, muss man sich zunächst für eine Ordnung dieser unendlichen Menge entscheiden.

Die bequemste Bestellung auf pythagoreischen Tripeln$(a,b,c)$stammt aus der klassischen Parametrisierung

$$a = k(m^2-n^2), \quad b=k(2mn), \quad c=k(m^2+n^2),$$ Wo$m>n>0$sind teilerfremde ganze Zahlen, nicht sowohl ungerade als auch$k$ist eine positive ganze Zahl. Man kann dann ungefähr zählen, wie viele pythagoreische Tripel es gibt$1\le k,m,n\le x$, und wie viele von ihnen beides haben$k$sogar oder$b$als kleinere Seite. Die für die$b$ist die kleinere Seite – das heißt, wofür$2mn < m^2-n^2$, oder$(\frac mn)^2 - 2\frac mn-1 > 0$– Zahlen entsprechen$m,n$mit$m>(1+\sqrt2)n$. Von allen Paaren mit$m>n>0$, dies entspricht einem Anteil von$\frac1{1+\sqrt2} = \sqrt2-1$. Natürlich auch$k$entsprechen einem Anteil von$\frac12$. Also die Dreier$(k,m,n)$was eine ungerade kürzere Seite ergibt, umfasst einen Anteil$\big(1-(\sqrt2-1)\big)(1-\frac12) = 1-\frac1{\sqrt2}$, was bedeutet, dass diejenigen, die eine noch kürzere Seite ergeben, einen Anteil ausmachen$\frac1{\sqrt2}$.

Es gibt einige Annahmen, die unter den Teppich gekehrt werden – zum Beispiel diese$k$gleichmäßig sein und$2mn$weniger als sein$m^2-n^2$sind asymptotisch unabhängig; und auch, dass sich diese Proportionen nicht ändern, wenn wir uns auf relativ primäre Paare beschränken$(m,n)$das ist nicht beides seltsam. Aber ich glaube, diese Annahmen können mit einem längeren Argument überprüft werden.

Also zum Schluss: Unter dieser Ordnung scheint sogar der Prozentsatz der pythagoräischen Tripel mit dem kürzeren Bein zu liegen$\frac1{\sqrt2} \approx 70.71\%$. (Und wenn wir uns auf primitive pythagoreische Tripel beschränken – diejenigen, bei denen die drei Seiten relativ teilerfremd sind – dann sind die$k$Variable verschwindet, und der Prozentsatz wird dann$\sqrt2-1 \approx 41.42\%$.)

Die natürlichste Ordnung ergibt sich wahrscheinlich nicht daraus, das zu sagen$k,m,n\le x$, sondern dass alle drei Seiten des Dreiecks kleiner als sind$y$, so dass$k(m^2+n^2)\le y$. In diesem Fall anstelle des Anteils des Dreiecks mit Eckpunkten$(0,0)$,$(x,0)$, Und$(x,x)$das liegt unter dem Strich$m=(\sqrt2+1)n$, ich glaube, wir sollten den Anteil des kreisförmigen Keils nehmen$\{m^2+n^2\le y,\, m>n\}$das liegt unter dieser Linie – und diese Proportion erweist sich als genau$\frac12$! Unter dieser Ordnung scheint also sogar der Prozentsatz der pythagoräischen Tripel mit dem kürzeren Bein zu liegen$\frac34$, und der Prozentsatz primitiver pythagoreischer Tripel mit dem kürzeren Bein scheint sogar zu sein$\frac12$.

Es hängt davon ab, welche Formel Sie verwenden. Derjenige, der die zeigt$trend$Am deutlichsten ist eines, das ich entdeckt habe, das alle Tripel wo erzeugt$GCD(A,B,C)=(2m-1)^2, m\in\mathbb{N}$. Dies schließt alle Primitiven ein. F(n,k) erzeugt keine trivialen Tripel und verwendet alle natürlichen Zahlen.

$$A=(2n-1)^2+2(2n-1)k\qquad B=2(2n-1)+2k^2\qquad C=(2n-1)^2+2(2n-1)k+2k^2$$

Wo$n,k\in\mathbb{N}$, Wo$n$ist eine Mengenzahl und$k$ist die Mitgliedsnummer oder "Anzahl" innerhalb des Satzes. Es erzeugt Tripel, die wie das hier gezeigte Beispiel von Sätzen aussehen, wo Seite-$B$ist immer gerade. Beachten Sie auch, dass in$Set_1$, die Werte von$A$jede ungerade ganze Zahl enthalten$>1$.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} n & Triple_1 & Triple_2 & Triple_3 & Triple_4 & Triple_5 & Triple_6 \\ \hline Set_1 & 3,4,5 & 5,12,13& 7,24,25& 9,40,41& 11,60,61 & 13,84,85 \\ \hline Set_2 & 15,8,17 & 21,20,29 &27,36,45 &33,56,65 & 39,80,89 & 45,108,117 \\ \hline Set_3 & 35,12,37 & 45,28,53 &55,48,73 &65,72,97 & 75,100,125 & 85,132,157 \\ \hline Set_{4} &63,16,65 &77,36,85 &91,60,109 &105,88,137 &119,120,169 & 133,156,205 \\ \hline Set_{5} &99,20,101 &117,44,125 &135,72,153 &153,104,185 &171,140,221 & 189,180,261 \\ \hline Set_{6} &143,24,145 &165,52,173 &187,84,205 &209,120,241 &231,160,281 & 253,204,325 \\ \hline \end{array}$$ Wie Sie in diesem Beispiel (und in der Formel) sehen können,$B$kann kleiner als seitlich beginnen$A$In$Set_2$und oben, aber die$k^2$Faktor lässt es immer seitlich herauswachsen$A$. Nebenbei würde ich das sagen$B<A$viel weniger als die Hälfte der Zeit. Ich vermute, wenn Sie ein Programm schreiben würden, um meine Vermutung zu testen, würden Sie feststellen, dass Sie es durchlaufen würden$n$setzt auf die gleiche Tiefe$k$in jedem würden Sie feststellen, dass der Prozentsatz von$B<A$würde abnehmen, je höher die Zahlen, wo$n=k$. Die Anzahl der Elemente wo$B<A$pro Satz erhöht sich mit jeder Erhöhung der Satznummer, die ungefähr einen Wert bildet$45^\circ$diagonal durch die Sets/Mitglieder, aber es sind keine drin$Set_1$und (nicht gesehen außer für$27,36,45$) steigt der Prozentsatz der Nicht-Primitiven mit der eingestellten Anzahl und Tiefe.

Meine Vermutung ist, dass mit der$all\text{-}primitives$und nein$B<A$In$Set_1$jederzeit mit einem nicht-primitiven gekoppelt$k$ist ein$1$-oder-mehr Vielfache eines beliebigen Faktors von$(2n-1)$In$Set_2$und darüber der Gesamtprozentsatz von Primitiven wo$B<A$wird um das Tief schweben$40s\%$.

Ich habe in einer Tabelle nachgesehen$Set_1$Zu$Set_{20}$bis zu einer Tiefe von 27 Zählprimitiv wo$B<A$. Hier sind die Zählungen der ersten$9$Sätze:

$C_1=0\quad C_2=2\quad C_3=3\quad C_4=5\quad C_5=4\quad C_6=7\quad C_7=9\quad C_8=5\quad C_9=13\quad$

Für diese$9$setzt auf eine Tiefe von$9$, es gibt$\frac{48}{81}=59.26\%$Im$20$setzt auf eine Tiefe$27$, das höchste Element in$Set_{20}$Wo$B<A$, es gibt$\frac{230}{540}=42.59\%$. Ich glaube, der Trend wird in der Nähe etwas konvergieren$41\%$wie in Greg Martins Antwort angegeben.