Wie viele Dezimalerweiterungen zur Basis 101010 kann eine reelle Zahl haben?

Ein etwas unintuitives Ergebnis der reellen Analyse ist, dass Dezimalerweiterungen nicht eindeutig sind. Zum Beispiel,

0,99999... = 1.
Daraus lässt sich schließen, dass jede reelle Zahl mindestens eine Basis hat. 10 Dezimalerweiterung, manchmal sogar zwei. Aber sind zwei das Maximum ? Gibt es reelle Zahlen mit drei verschiedenen Basis- 10 Dezimalerweiterungen?

Intuitiv würde ich nicht denken, aber ich habe fast keine Ahnung, wie ich es beweisen soll, außer zu wissen, dass die einfachste Methode ein Beweis durch Kontraktion wäre.

Es kann helfen, das Problem einzugrenzen, indem man die Erweiterungen von Zahlen nur in betrachtet [ 0 , 1 ] . Das liegt daran, wenn A ∈ [ 0 , 1 ] hat mehr als zwei Basis- 10 Dezimalerweiterungen, dann auch A + X für alle X ∈ R . Und ebenso, wenn X ∈ R ∖ [ 0 , 1 ] hat mehr als zwei Basis- 10 Erweiterungen, kann es geschrieben werden als X = S G N ( X ) ( ⌊ X ⌋ + A ) , Wo A ∈ [ 0 , 1 ) , und aus Notwendigkeit A hat mehr als zwei Basis- 10 Erweiterungen.

Um es klar zu sagen, sollte ich definieren, was ich mit Basis meine. 10 Erweiterung. Lassen N ∈ [ 0 , 1 ] . Dann eine Dezimalerweiterung von N ist eine Folge δ = ( δ 0 , δ 1 , δ 2 , . . . ) von ganzen Zahlen 0 ≤ δ ich ≤ 9 so dass

σ ( δ ) := ∑ ich ≥ 0 δ ich 10 ich = N .
Außerdem lassen U = { ( A 0 , A 1 , A 2 , . . . ) : 0 ≤ A ich ≤ 9 , A ich ∈ Z } und lass
D N = { δ ∈ U : σ ( δ ) = N } .
Letztlich lassen
C k = { N ∈ [ 0 , 1 ] : # ( D N ) ≥ k } , k ∈ N
Wo # ( S ) ist die Anzahl der Elemente in der Menge S .

Also ist C k leer für k > 2 ?

Der einzige Weg, zwei zu bekommen, ist, wenn sich die Ziffern schließlich auf Null stabilisieren. Sie scheinen das zu wissen, wenn Sie in einem solchen Fall sind, dass es tatsächlich zwei gibt. Wenn sie sich nicht auf Null stabilisieren, dann lassen Sie es δ N sei die erste Ziffer, an der sich zwei Darstellungen unterscheiden. Dann summieren Σ N ∞ 10 − k ( δ k − δ k ' ) und dies wird kleiner als eins (aber nicht null) sein, also mod 1 sie werden unterschiedliche Nummern sein. Für eine Zahl, die sich schließlich stabilisiert (z. B. dezimal N ), mal 10 N und verwenden Sie einfach ein Grenzwertargument von beiden Seiten in Ihrem Intervall [ 0 , 1 ] .
Würde 1.000000000..... mit der "letzten" Ziffer von 1 nach unendlich vielen 0 würde sich als eine andere Erweiterung qualifizieren?
@Andrei Passt es zur gegebenen Definition der Dezimalerweiterung? Wenn ja, ja, wenn nein, nein.
@Andrei ja es würde zählen, als δ = ( 1 , 0 , 0 , 0 , . . . ) befriedigt tatsächlich
σ ( δ ) = 1

Antworten (1)

C k ist in der Tat leer für k > 2 .

Angenommen, eine Zahl hat zwei unterschiedliche Dezimalerweiterungen δ = ( δ 0 , δ 1 , δ 2 , … ) Und δ ' = ( δ 0 ' , δ 1 ' , δ 2 ' , … ) . Dann müssen wir haben

0 = ∑ ich ≥ 0 δ ich − δ ich ' 10 ich .

Wlog, davon dürfen wir ausgehen δ 0 ≠ δ 0 ' . (Es muss einige kleinste geben ich für die sie ungleich sind. Durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz von 10 , wir können davon ausgehen, dass es so ist ich = 0 .) Darüber hinaus dürfen wir davon ausgehen δ 0 > δ 0 ' .

Somit haben wir

1 ≤ δ 0 − δ 0 ' = ∑ ich ≥ 1 δ ich ' − δ ich 10 ich .

Wenn wir auf allen Seiten den absoluten Wert nehmen und die Dreiecksungleichung für Reihen verwenden, sehen wir das

1 ≤ δ 0 − δ 0 ' ≤ ∑ ich ≥ 1 | δ ich ' − δ ich | 10 ich ≤ ∑ ich ≥ 1 9 10 ich = 1.

Somit haben wir überall Gleichberechtigung. Beachten Sie, dass dies bedeutet | δ ich ' − δ ich | = 9 für alle ich . Tatsächlich sehen wir das δ ich ' − δ ich muss für alle das gleiche Vorzeichen haben ich . Dieses Vorzeichen muss natürlich positiv sein.

Somit haben wir δ 0 = δ 0 ' + 1 Und δ ich = 0 für alle ich ≥ 1 , δ ich ' = 9 für alle ich ≥ 1 .

(Alle obigen Manipulationen waren gerechtfertigt, da die Reihe absolut konvergierte.)

Das Obige zeigt, dass eine Zahl, die zwei Dezimalerweiterungen hat, eigentlich nur eine Variante von sein muss 1 = 0. 9 ¯ . Insbesondere gibt es höchstens zwei Dezimalerweiterungen.

So, C 3 ist leer, weil es höchstens gibt 2 Möglichkeiten, die zu verwenden 1 = 0. 9 ¯ Trick?
Ja. Ich habe gezeigt, dass, wenn zwei unterschiedliche Darstellungen dieselbe Zahl darstellen, dann δ ich Und δ ich ' sind alle bestimmt für ich ≥ 1 . Darüber hinaus, δ 0 Und δ 0 ' wird durch Anschauen behoben ⌊ X ⌋ . Bei einer Zahl, die zwei unterschiedliche Dezimalerweiterungen hat, habe ich tatsächlich ausführlich gezeigt, was beide sein müssen. (Insbesondere gibt es keine dritte Möglichkeit.)
Ah ich sehe. Also, gegebene unterschiedliche Sequenzen δ Und δ ' mit σ ( δ ) = σ ( δ ' ) = N , und eine dritte Sequenz a mit σ ( a ) = N Dann a muss beides sein δ oder δ ' . Sehr schlau! +1
Was ist mit jeder Basis?
@AMDG: (Ich gehe davon aus, dass Ihre Basis immer noch eine ganze Zahl ist.) In Anbetracht der Basis B ⩾ 2 , ersetzen Sie alle Instanzen von 10 oben mit B Und 9 mit B − 1 . Es folgt das analoge Ergebnis. (Beachten Sie, dass
∑ ich ⩾ 1 B − 1 B ich = 1
hält noch.)
@AryamanMaithani Mit anderen Worten, für alle Basen gibt es immer zwei Darstellungen?
@AMDG: Es gibt höchstens zwei Darstellungen einer reellen Zahl, ja. (Wieder unter der Annahme einer ganzzahligen Basis, die mindestens ist 2 .)
Wie viele Dezimalerweiterungen zur Basis 101010 kann eine reelle Zahl haben?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v