Wie wird eine aktive Filterübertragungsfunktion in ein Blockdiagramm übersetzt?

Ich habe Probleme beim Übersetzen, wenn ich eine Übertragungsfunktion eines aktiven Filters finde. Befindet es sich in einem „Close Loop“- oder „Open Loop“-Zustand?

Die Filterfunktion steht natürlich nur im geschlossenen Regelkreis zur Verfügung. Es ist das frequenzvariable Rückkopplungsnetzwerk, das die gewünschte Filtercharakteristik ergibt.

Wie kommt es, dass wir bei der Ermittlung der Übertragungsfunktion dieser aktiven Operationsverstärker die Eigenschaften des Operationsverstärkers selbst nicht berücksichtigen?

Es ist üblich, nur idealisierte Operationsverstärker anzunehmen (unendliche Verstärkung, keine frequenzabhängige Verstärkung). Natürlich führt diese Vereinfachung zu Fehlern in der Übertragungscharakteristik – dies ist jedoch akzeptabel, solange der Betriebsfrequenzbereich auf einen Bereich beschränkt ist, in dem andere Unsicherheiten (Teiletoleranzen) dominieren. Dies bedeutet natürlich, dass Opamp-basierte Filter nicht im oberen MHz-Bereich verwendet werden (wo Opamp-Nichtidealitäten eine bemerkenswerte Rolle spielen).

Bitte beachten Sie, dass es viele, viele verschiedene Alternativen für Tiefpassschaltungen gibt, die in der Praxis (Realität) ALLE die gleiche Übertragungsfunktion haben würden - unter der Annahme von IDEAL-Operationsverstärkern. Der Unterschied zwischen diesen Alternativen kann nur für ECHTE Opamps aufgedeckt werden. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, ob der Operationsverstärker als positiver Verstärker mit fester Verstärkung (Sallen-Key) oder als Verstärker mit hoher Verstärkung (Multi-Feedback) oder als Integrator (State-Variable-Strukturen) verwendet wird. Alle diese Alternativen haben unterschiedliche Empfindlichkeiten gegenüber Opamp-Nicht-Idealitäten.

Zum Beispiel hat ein Operationsverstärker eine Operationsschleifenverstärkung. Ich würde mir vorstellen, dass Sie diese in Ihre Übertragungsfunktion aufnehmen müssen, sonst könnten Sie jeden Operationsverstärker verwenden / jeden Operationsverstärker ignorieren?

Natürlich könnten wir theoretisch die Open-Loop-Verstärkung des Verstärkers in die Gesamtübertragungsfunktion einbeziehen ... aber zu welchem ​​Zweck? Um die Genauigkeit der Funktion etwas zu verbessern ? Der Preis dafür wäre eine sehr komplizierte Übertragungsfunktion, die für praktische Realisierungen nur sehr schwer zu gebrauchen ist.

Anmerkung: Es gibt Studien, die zeigen, wie die frequenzabhängige Open-Loop-Verstärkung eines Opamps - zusammen mit einem reinen resistiven Gegenkopplungsnetzwerk ohne externe Kondensatoren - zur Realisierung aktiver Filter ("R-Filter") ausgenutzt werden kann. Allerdings als streng Nachteil, es ist notwendig, die genaue Open-Loop-Verstärkungscharakteristik des Operationsverstärkers zu kennen, die sehr große Toleranzen hat, aber diese Filter haben keine praktische Relevanz ....

Kommentar 1 : Natürlich ist es möglich, ein Blockdiagramm in klassischer Form mit einem Rückkopplungsblock (und mit einem Summierknoten am Eingang) und einem Block mit der Open-Loop-Verstärkung des Operationsverstärkers zu erstellen - aber zu welchem ​​​​Zweck?

Kommentar 2: Tatsächlich ist es als Vorteil der Blockdiagrammvisualisierung sehr einfach zu sehen, WIE der S&K-Tiefpass funktioniert: Es gibt einen passiven Tiefpass (Hforward) mit einem schlechten Qualitätsfaktor (Pol-Q) Qp<0,5.

Im „kritischen“ Frequenzbereich (genau bei der Polfrequenz) verstärkt der Bandpass im Rückkopplungspfad jedoch die Amplitude des Tiefpasses, da der Bandpass die gleiche Polfrequenz hat (Nullphasenverschiebung, Mitkopplungseffekt). Dieser Effekt erzeugt einen größeren Q-Wert (Beispiel: Qp=0,7071 für eine Butterworth-Antwort).

EDIT: Blockdiagramm: Beide passiven Übertragungsfunktionen (Tiefpass, Bandpässe) werden von der ursprünglichen Schaltung abgeleitet. Vp ist die Signalspannung am positiven (nicht invertierenden) Eingangsanschluss des Operationsverstärkers.

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

@LvW Die Antwort ist einfach perfekt.

Aber nur zum Spaß, ich denke, Sie können Ihre Aufgabe erfüllen. Aus diesem Grundschema:

^{Simulieren Sie diese Schaltung – Mit CircuitLab erstellter Schaltplan}

Sie können den Verstärker als Eingangsimpedanz und gesteuerte Spannungsquelle in Reihe mit einer Ausgangsimpedanz modellieren.

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Natürlich können wir die Schaltung neu anordnen, um ihre Maschen und Knoten einfacher zu visualisieren:

^{Simulieren Sie diese Schaltung}

Jetzt habe ich die Netzanalyse verwendet (obwohl ich es mit Knoten versucht habe und nicht mochte, wie es ging), um die Filterübertragungsfunktion zu erhalten (nach vielen Stunden mehr, als ich für notwendig hielt, und vielen möglichen Fehlern):

$H(s)= \frac{A_{ol}(s)Z_{i}(s)+Z_o(s)[1+s C_1 (R_2+Z_i(s))]}{A_{ol}Z_i(s)[s^2C_1C_2 R_1 R_2+s C_2(R_1+R_2)+1] + s^2C_1C_2 \frac{R_1R_2Z_o(s)Z_i(s)}{R_1//R_2//Z_o(s)//Z_i(s)}+ s[ C_2(R_1+R_2)(Z_o(s)+Z_i(s)) + C_1((Z_i(s)+R_1)(Z_o+R_2)] + (R_1+R_2) +Z_o(s) + Z_i(s)}$

Kurioserweise aber kein Beweis per se, wenn man Begriffe dazu nur umstellen muss$1/Z_i$Und$1/A$Format und nehmen Sie die Grenze von$Z_0 \rightarrow 0$,$Z_i \rightarrow \infty$Und$A_{ol} \rightarrow \infty$(nur die Begriffe mit$Z_i$ $A$nicht Null sind) wird es die gegebene ursprüngliche und einfachere Übertragungsfunktion.

$H(s)= \frac{A_{ol}(s)Z_{i}(s)}{s^2C_1C_2 R_1 R_2 A_{ol}Z_i(s)+ s C_2 (R_1+R_2) Z_i(s)A_{ol}(s) + Z_i(s)A_{ol}(s)} = \frac{1}{s^2C_1C_2 R_1 R_2 + s C_2 (R_1+R_2) + 1}$

Ich denke, dies kann teilweise nützlich sein, nur um zu zeigen, dass es keine einfache Blockübertragungsmultiplikation gibt, aber es wird sehr relevante Einschränkungen des Verstärkers berücksichtigen. Jede zusätzliche Einschränkung impliziert, dass lineare Operatoren und Übertragungsfunktionen sie nicht richtig beschreiben können.

Da dies viel mehr Stunden gedauert hat, als ich erwartet hatte, plane ich, ein weiteres zu schreiben oder dieses zu bearbeiten, mit einem ganz anderen Ansatz, der eine ähnliche Idee ausnutzt, zu der @LvW-Diagramme führen, leider wurde das Diagramm gestern noch nicht hochgeladen.

Bearbeiten 1: Nach dem Vorschlag von @LvW können wir den Verstärker so modellieren$A_{ol}(s) = G\frac{\omega_0^2}{s^2+2 \xi \omega_0s +\omega_0^2}$Und$Z_i(s)=R_i$Und$Z_o(s)=R_o$. Seltsamerweise ist es nach diesem Vorgang und dem Auffinden von etwa 2 algebraischen Manipulationsfehlern nicht schwer, die Verstärkungscharakteristik des Verstärkers tatsächlich zu trennen, wie oben korrigiert. Die neue Übertragungsfunktion mit dem Filter zweiter Ordnung lautet nun:

$H(s)= \frac{G R_{i}\omega_0^2+(s^2+2\xi\omega_0+\omega_0^2)R_o[1+s C_1 (R_2+R_i)]}{G\omega_0^2R_i[s^2C_1C_2 R_1 R_2+s C_2(R_1+R_2)+1] + (s^2+2\xi\omega_0+\omega_0^2)[s^2C_1C_2 \frac{R_1R_2R_oR_i}{R_1//R_2//R_o//R_i}+ s[ C_2(R_1+R_2)(R_o+R_i) + C_1(R_i+R_1)(R_o+R_2)] + (R_1+R_2) +Z_o(s) + Z_i(s)]}$

Was wirklich ein schrecklicher Ausdruck ist.

Wie kommt es, dass wir bei der Ermittlung der Übertragungsfunktion dieser aktiven Operationsverstärker die Eigenschaften des Operationsverstärkers selbst nicht berücksichtigen?

Im Allgemeinen möchten Sie mit Frequenz/Verstärkung unterhalb des Verstärkungsbandbreitenprodukts arbeiten. Auf diese Weise kommt die Dynamik des Operationsverstärkers nicht ins Spiel.