Wie würden sich molekulare Strukturen und Wechselwirkungen im Allgemeinen verändern, wenn Leptonen schwerer oder leichter wären, als sie sollten?

Die Schlüsseländerungen in der Molekülstruktur ergeben sich hauptsächlich aus Änderungen der Elektronenorbitale und der elektronischen und molekularen Energieniveaus.

Atome

Indem wir die Schrödinger-Gleichung für ein Elektron lösen, das sich unter einem Coulomb-Potential bewegt, können wir zeigen, auf welchen Energieniveaus ein Elektron für ein Atom stehen kann$Z$und Kernmasse$m_N$erfüllen

$$E_n=-\frac{c^2Z^2\alpha^2m_e}{2n^2}$$ mit$\alpha$die Feinstruktur konstant und$m_e$die Masse des Elektrons. Elektronen sind ziemlich leicht, also unabhängig von der Masse des genauen Elements,$m_e\ll m_N$; hier haben wir die Annäherung gemacht, dass die reduzierte Masse$\mu$des Atoms ist gleich der Elektronenmasse. Die wahre Abhängigkeit von$E_n$An$m_e$ist ungefähr linear - zumindest nahe genug. Daher Verdoppelung$m_e$wird die Energie jedes Energieniveaus effektiv verdoppeln; Durch die Halbierung wird jedes Energieniveau halbiert.

Die Masse des Elektrons taucht auch bei der Berechnung des Bohr-Radius auf $a_0$, was die wahrscheinlichste Trennung zwischen Kern und Elektron im Grundzustand von Wasserstoff ergibt. Der Ausdruck ist

$$a_0=\frac{\hbar}{m_e c\alpha}$$ wieder vorausgesetzt$m_e\ll m_N$. Der Bohr-Radius legt die Skala der Elektronenorbitale fest; es zeigt die radialen Anteile der Wellenfunktionen des Elektrons. Zum Beispiel für die Wellenfunktion der$n=3$Zustand mit Quantenzahlen$l=0$Und$n_r=2$, wir bekommen $$R_{3,0}(r)=2\left(\frac{Z}{3a_0}\right)^{3/2}\left[1-\frac{2Zr}{3a_0}+\frac{2(Zr)^2}{27a_0^2}\right]e^{-Zr/3a_0}$$ Beachten Sie, dass dies wirklich eine Funktion der dimensionslosen Variablen ist$x\equiv r/a_0$, und so charakterisiert der Bohr-Radius wirklich die Größe des Atoms.

Moleküle

Nehmen wir an, wir haben eine Art zweiatomiges Molekül. Dieses Molekül hat zusätzliche (nichtelektronische) Energieniveaus, die aus Schwingungs- und Rotationszuständen entstehen. Wenn wir argumentieren, dass das Molekül in zweiter Ordnung wie ein harmonischer Oszillator schwingt, können wir ein Argument der Dimensionsanalyse verwenden, um zu sagen, dass es Schwingungsenergieniveaus haben sollte, die wie skalieren

$$E_{n_{\nu}}\sim\left(n_{\nu}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{m_e}{m_N}\right)^{1/2}\left(\frac{m_ee^4}{\hbar^2}\right)$$ oder eine Abhängigkeit von$m_e^{3/2}$. Warum ist das so? Die Größe des Moleküls wird maßgeblich durch die Größe der Elektronenorbitale bestimmt, die Stärke der Schwingungen hängt also von der Elektronenmasse ab.

Wir können tatsächlich ein ähnliches Argument für die Rotationsenergieniveaus anführen. Wir sehen, dass sie durch die Winkelquantenzahl gekennzeichnet sind$l$und werden von gegeben

$$E_l=\frac{l(l+1)\hbar^2}{2I}$$ mit$I$das entsprechende Trägheitsmoment des Moleküls,$I=\mu r_0^2$, mit$\mu$jetzt die reduzierte Masse des Moleküls, nicht des Atoms, und$r_0$die Gleichgewichtstrennung.$\mu$hat keine Abhängigkeit von der Elektronenmasse, aber$r_0$ tut , da er auf der gleichen Skala wie der Bohr-Radius liegt. Daher schleicht sich das Elektron in Formeln für Übergänge ein, die auf den ersten Blick nichts mit Elektronen zu tun zu haben scheinen!

Das Van-der-Waals-Gas

Das ideale Gasmodell ist in einer Reihe von Situationen effektiv, aber es ist nicht perfekt – schließlich gilt es nur für ein wirklich ideales Gas. Für Fälle außerhalb des Bereichs des idealen Gasgesetzes sind realistischere Zustandsgleichungen erforderlich. Ein Beispiel ist das Van-der-Waals-Gas, das die Zustandsgleichung hat

$$\left(p+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=k_BT$$ Wo$p$ist Druck,$V$ist ein skaliertes Volumen,$T$ist Temperatur und$a$Und$b$sind die Van-der-Waals-Konstanten (wir erhalten das ideale Gasgesetz, wenn wir setzen$a=b=0$).$a$charakterisiert intermolekulare Wechselwirkungen, während$b$erklärt die Tatsache, dass Gase keine Punktteilchen sind – es ist eine Art Volumen. Wir können informell argumentieren, dass der Bohr-Radius davon abhängt$m_e$, tut es auch$b$. Eine kleinere Elektronenmasse bedeutet einen größeren Bohr-Radius und damit einen größeren$b$- und damit eine größere Abweichung vom idealen Gasgesetz.

Quantitativ können wir die Van-der-Waals-Gleichung als Summe einer anziehenden Wechselwirkung und einer abstoßenden Wechselwirkung neu anordnen:

$$p=p_{\text{repulsive}}+p_{\text{attractive}}=\frac{k_BT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$$ Dasselbe Rezept taucht immer wieder in anderen Realgasmodellen auf, einschließlich der Dieterici-Gleichung (die die Anziehungskraft erklärt, indem sie einfach den Abstoßungsdruck mit einem Exponential multipliziert) und der Virialexpansion, die das Verhältnis schreibt$pV/k_BT$als Potenzreihe in$1/V$; die Koeffizienten hängen ab$b$(Und$a$).

Zusammenfassung

Wir haben die folgenden wichtigen Skalierungsabhängigkeiten:

• Für elektronische Energieniveaus in Atomen gilt:$E_n\propto m_e$.
• Für den Bohr-Radius, der atomare Skalen charakterisiert,$a_0\propto m_e^{-1}$.
• Für die Schwingungsenergieniveaus eines Moleküls gilt:$E_{n_{\nu}}\propto m_e^{3/2}$.
• Für die Rotationsenergieniveaus eines Moleküls gilt$E_l\propto m_e^2$(durch das$I^{-1}\propto r_0^{-2}\sim a_0^{-2}\propto m_e^2$Abhängigkeit vom Bohr-Radius).

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Nachtrag: Erhöhung der Masse von Leptonen

Angesichts des Higgs-Feldes$\phi$, die Masse eines bestimmten Fermions$f$berechnet werden kann

$$m_f=\frac{g_fv}{\sqrt{2}}$$ Wo$g_f$die Yukawa-Kopplungskonstante für ist$f$Und$v=\langle\phi\rangle$ist als der Nicht-Null-Vakuum-Erwartungswert des Higgs bekannt. Wenn wir die Masse aller Leptonen gleichmäßig erhöhen wollen, könnten wir entweder erhöhen$v$(was für alle Leptonen gleich ist) oder jedes erhöhen$g_f$individuell. Es sieht so aus, als ob Sie sich ändern möchten$v$Bedenken Sie jedoch, dass dies der Einfachheit halber Auswirkungen auf die Masse des Higgs und der Eichbosonen hat, denen es Masse verleiht, den W- und Z-Bosonen.