Wiederholte Nullstellen einer Funktion

Ich bin auf Fragen gestoßen, die besagen, dass die Funktionen wiederholte Wurzeln haben. Dort a soll Wurzel von wiederholt werden F ( X ) Wenn F ( a ) = F ' ( a ) = 0 .
Wenn F ( X ) ein Polynom ist, kann ich verstehen, warum sie es als wiederholte Wurzel bezeichnen, weil ( X − a ) 2 ist ein Faktor von F ( X ) . Aber falls F ( X ) kein Polynom ist, können Sie nicht faktorisieren F ( X ) , also kann mir jemand sagen warum a wird in solchen Fällen als wiederholte Wurzel bezeichnet. Vielen Dank im Voraus.

Ich habe das Gefühl, dass die Konvention für Polynomfunktionen gerade auf andere übertragen wurde.
Es gibt nichtpolynomische Funktionen, die die Eigenschaft erfüllen F ( a ) = F ' ( a ) = 0 . Nehmen Sie zum Beispiel F ( X ) := e X + e − X − 2 Und a = 0 . Daher ist es sinnvoll, diese Terminologie auch für nicht-polynomiale Funktionen zu verwenden.

Antworten (2)

Wenn Sie die Funktion als Taylor-Reihe umschreiben können A , Sie können sehen, dass der erste Term ungleich Null ist A N ( X − A ) N , für einige N ≥ 2 , und du kannst ausrechnen ( X − A ) 2 . (Oder möglicherweise alle Terme Null, wenn die Funktion die Nullfunktion ist.)

Allgemeiner, wenn F ″ ( X ) existiert, dann bedeutet es, dass Sie schreiben können F ( X ) = ( X − A ) 2 G ( X ) für einige G ( X ) kontinuierlich und definiert bei A . Sie können also wieder ausrechnen ( X − A ) 2 .

Sie können das noch stärkere Ergebnis erzielen, wenn F ″ existiert also G existiert genau dann, wenn F ( A ) = F ' ( A ) = 0.

Daraus folgt per Induktion aus dem Ergebnis:

Wenn H ' existiert also G 1 ( X ) = H ( X ) − H ( A ) X − A kann nur durch Definition stetig gemacht werden G 1 ( A ) = H ' ( A ) .

Das ist praktisch die Definition von H ' ( A ) , welches ist

H ' ( A ) = lim X → A G 1 ( X ) .

Dann wenn F ( A ) = F ' ( A ) = 0 , Wenden Sie dies zuerst an H = F ' , dann zu H = F .

Gibt es eine geometrische Interpretation dazu?
Nicht dass ich daran denken könnte. Abgesehen von der „Ebenheit“ stimmt die Steigung der Kurve mit dem Punkt überein, an dem die Kurve auftrifft X -Achse. Es gibt nicht viel geometrische Bedeutung dafür in Polynomen. In der komplexen Analysis ist eine solche Funktion in einer Umgebung von nicht bijektiv A , aber das ist eine Eigenschaft, wenn F ' ( A ) = 0 , nichts damit zu tun haben F ( A ) = 0.

Ich denke, dass die Terminologie "wiederholte Wurzel" richtig auf das Taylor-Polynom von bezogen wird F zentriert bei a Grad N , dh

T N , a ( X ) = ∑ k = 0 N F ( k ) ( a ) k ! ( X − a ) k .
In der Tat, wenn F ( a ) = F ' ( a ) = 0 dann das Polynom T N , a ist teilbar durch ( X − a ) 2 .

Wiederholte Nullstellen einer Funktion
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