Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt durch Euler-Winkel

Hier ist ein einfacher, aber etwas rechnerischer Weg. Es gibt zwei Schritte. (1) Zeigen Sie, wie der Winkelgeschwindigkeitsvektor in Form von Rotationsmatrizen definiert wird. (2) Schreiben Sie eine allgemeine Rotation in Form von Euler-Winkeln. (3) Kombinieren Sie (1) und (2), um einen Ausdruck für den Winkelgeschwindigkeitsvektor in Form von Euler-Winkeln zu erhalten.

Schritt 1. Erinnern Sie sich daran, dass if$\mathbf x(t)$ist die Position eines beliebigen Punktes in einem sich drehenden starren Körper, dann wird die Bewegung dieses Vektors durch eine zeitabhängige Drehung erzeugt;

$$\begin{align} \mathbf x(t) = R(t)\mathbf x(0) \end{align}$$ Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit eines solchen Punktes im Körper ist $$\begin{align} \dot{\mathbf x}(t) =\dot R(t)\mathbf x(0) = \dot R(t)R^t(t)\mathbf x(t) \end{align}$$ wo hier das hochgestellte $t$bedeutet transponieren, und in der zweiten Gleichheit habe ich die erste Gleichung und die Tatsache verwendet, dass für Rotationen $R^t = R^{-1}$. Wenn wir diese Tatsache wieder in der Form verwenden $$\begin{align} RR^t = I \end{align}$$ und beide Seiten zeitlich differenzieren, dann verschwindet die rechte Seite und wir erhalten $$\begin{align} \dot R R^t = -R\dot R^t = -(\dot R R^t)^t \end{align}$$ Dies zeigt, dass die Matrix $\Omega \equiv\dot R R^t$ist antisymmetrisch, was bedeutet, dass es drei Funktionen gibt $\omega_x, \omega_y, \omega_z$wofür $$\begin{align} \Omega = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$ Es stellt sich heraus, dass die Einträge dieser Matrix genau die Komponenten des Winkelgeschwindigkeitsvektors sind $\boldsymbol\omega$. Tatsächlich wird bei vielen Behandlungen oft definiert $$\begin{align} \boldsymbol\omega = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) \end{align}$$ Um Sie davon zu überzeugen, dass dies die richtige Definition der Winkelgeschwindigkeit ist, zeigt eine kurze Berechnung dies für jeden Vektor $\mathbf x$, $$\begin{align} \Omega \mathbf x = \boldsymbol\omega\times \mathbf x \end{align}$$ Damit wir uns erholen $$\begin{align} \dot{\mathbf x} = \boldsymbol\omega\times\mathbf x \end{align}$$ aus der zweiten obigen Gleichung, die ein Standardausdruck ist, der zeigt, wie der Winkelgeschwindigkeitsvektor die Geschwindigkeiten der Punkte in einem starren Körper erzeugt.

Es gibt jedoch eine Feinheit, auf die wir achten müssen. Die Winkelgeschwindigkeitskomponenten, die in den Anmerkungen angegeben sind, auf die Sie verlinken, sind die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in einer Basis, die sich mit dem Körper dreht. Wenn wir lassen$\mathbf e_i$bezeichnen eine nicht rotierende Basis, adn$\mathbf u_i$die mit dem Körper rotierende Basis bezeichnen, dann haben wir

$$\mathbf u_i(t) = R(t) \mathbf e_i$$ Insbesondere bei einem beliebigen Vektor $\mathbf w$, können wir einen solchen Vektor auf jeder Basis in seine Komponenten zerlegen $$\mathbf w = w_i\mathbf e_i = w_{i,B} \mathbf u_i$$ also das Drei-Tupel $$\mathbf w_B = w_{i,B} \mathbf e_i$$ Gibt die Komponenten eines beliebigen Vektors in der Körperbasis an. Beachten Sie, dass die Komponenten eines Vektors in der Körperbasis wie folgt aus seinen Komponenten in der nicht rotierenden Basis erhalten werden können. $$\mathbf w_B = R^t\mathbf w$$ Insbesondere hängen die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in der Körperbasis mit ihren Komponenten in der nicht rotierenden Basis zusammen $$\boldsymbol\omega_B = R^t\boldsymbol\omega$$

Schritt 2. Dies ist eigentlich bereits in den MIT-Notizen geschehen, auf die Sie verlinkt haben. Es ist die letzte Gleichung auf der dritten Seite. In der Notation von dem, was ich „Schritt 1“ genannt habe, definieren wir die Euler-Winkel wie folgt in Bezug auf aufeinanderfolgende Rotationen, die die Komponenten eines Vektors in der nicht rotierenden Basis nehmen und seine Komponenten in Bezug auf die Körperbasis angeben

$$R^t = R_z(\psi)R_x(\phi)R_z(\phi)$$

Schritt 3. Wir kombinieren die Schritte 1 und 2, um einen Ausdruck für zu erhalten$\boldsymbol\omega_B$die die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit in der Körperbasis angibt. Dazu berechnen wir zunächst$\boldsymbol\omega$aus$\Omega = \dot R R^t$in Bezug auf Euler-Winkel. Dann bewerben wir uns$R^t$Zu$\boldsymbol\omega$zu bekommen$\boldsymbol\omega_B$. Ich habe das gerade mit Mathematica gemacht und genau das Ergebnis in Ihren verlinkten Notizen erhalten:

$$\begin{align} \omega_{x,B} &= \dot\phi\sin\theta\sin\psi +\dot\theta\cos\psi\\ \omega_{y,B} &= \dot\phi\sin\theta\cos\psi - \dot\theta\sin\psi\\ \omega_{z,B} &= \dot\phi\cos\theta+\dot\psi \end{align}$$

Ich nehme an, Sie kennen sich mit Rotationsmatrizen aus, also für eine Sequenzrotation um ZXZ mit Winkeln$\phi$,$\theta$Und$\psi$bzw. Sie haben

$$\vec{\omega} = \dot{\phi} \hat{z} + T_1 \left( \dot{\theta} \hat{x} + T_2 \left( \dot{\psi} \hat{z} \right) \right)$$

Die Logik hier ist, einen lokalen Spin von anzuwenden$\dot{\phi}$,$\dot{\theta}$Und$\dot{\psi}$auf den lokalen Achsen in der Sequenz.

1. Spin anwenden$\dot{\phi}$um lokales Z und drehen Sie dann um$T_1$
2. Spin anwenden$\dot{\theta}$über lokales X (rotiert um$T_1$) und drehen Sie dann um$T_2$
3. Spin anwenden$\dot{\psi}$über lokales Z (gedreht um$T_1 T_2$).

Aktualisieren

Es gibt eine Möglichkeit, das obige unter Verwendung der Identität formal abzuleiten$\dot T = \vec\omega \times T$aber es ist ziemlich kompliziert für 3 Freiheitsgrade.

Für zwei Freiheitsgrade geht das so. Mit Rotationsmatrix$T= T_1 T_2$(wie oben definiert) die zeitliche Ableitung ist

$$\begin{aligned} \frac{{\rm d} T}{{\rm d} t} & = \dot{T}_1 T_2 + T_1 \dot{T}_2 \\ & = \left( (\dot{\psi} \hat{z}) \times T_1 \right) T_2 + T_1 \left( (\dot{\theta} \hat{x}) \times T_2 \right) \\ & = (\dot{\psi} \hat{z}) \times \left( T_1 T_2 \right) + (T_1 (\dot{\theta} \hat{x})) \times \left( T_1 T_2 \right) \\ & = \left(\dot{\psi} \hat{z} + T_1 (\dot{\theta} \hat{x}) \right) \times (T_1 T_2) \\ & = \left(\dot{\psi} \hat{z} + T_1 (\dot{\theta} \hat{x}) \right) \times T = \vec{\omega} \times T \end{aligned} \\ \vec{\omega} = \dot{\psi} \hat{z} + T_1 (\dot{\theta} \hat{x})$$

Verwendung der verteilten Eigenschaft$T (\vec{a} \times \vec{b} ) = (T \vec{a}) \times (T \vec{b} )$.