X,Y ~ Unif(0,1) nicht unbedingt unabhängig, kann P(X+Y>1)>1/2?

Hier ein Versuch, der das für alle nahe legt$\epsilon > 0$das kann man eigentlich so koppeln

$$\mathbb{P}(X + Y > 1) = 1 - \epsilon.$$ Beachte das erstmal $$\mathbb{P}(X + Y > 1) = \mathbb{P}(X > 1 - Y)$$ und das$Z := 1-Y$ist auch eine einheitliche Zufallsvariable andere$[0,1]$. Daher können wir das Problem auf die Kopplung von reduzieren$(X,Z)$so dass $$\mathbb{P}(X > Z) > \frac{1}{2}.$$ So formuliert ist es eigentlich ganz einfach. Nehmen$Z$Uniform an$[0,1]$und einstellen $$X = Z + \epsilon \quad (\text{mod} 1).$$ Dann wenn$Z < 1 - \epsilon$,$X > Z$. Dies geschieht mit Wahrscheinlichkeit$1 - \epsilon$.

EDIT: Hier ist die Lösung.

Lassen$U$einheitlich sein$[0,1]$, Satz$Y = 1-U$,$X = U + \epsilon \quad (\text{mod} 1)$. Beachte das erstmal$X$Und$Y$die gewünschten Ränder haben. Dann$X = U + \epsilon$auf der Veranstaltung$U \le 1 - \epsilon$. Deshalb

$$\mathbb{P}(X + Y > 1) \le \mathbb{P}(X + Y > 1, U < 1 - \epsilon) =$$ $$= \mathbb{P}(U + \epsilon + (1 - U) > 1, U < 1 - \epsilon) =$$ $$=\mathbb{P}(U < 1 - \epsilon) = 1 - \epsilon.$$ Wie oben erwähnt, ist dies viel besser als die$\frac{1}{2}$gebunden in der ursprünglichen Frage erwähnt, da eigentlich jeder Wert in$(0,1)$erhalten werden können.

Ich finde die Idee von @Jean Marie, eine visuelle Lösung anzubieten, großartig. Ich denke jedoch, dass eine „diskrete Version“ der Antwort am ehesten auf dem 4x4-Grind zu sehen ist, was meiner Meinung nach die Dinge klären würde.

Tatsächlich müssen Sie nur die ersten Kästchen über die Diagonale und die untere linke Ecke füllen. Hier ist eine Ansicht für ein 4x4-Raster:

Und hier ist es für das 5x5-Raster:

Offensichtlich sind beide Zufallsvariablen einheitlich (wir haben 1 gefülltes Quadrat pro Zeile und eines pro Spalte). Außerdem ist das einzige Quadrat so gefüllt$X+Y \le 1$repräsentiert$1/n$des farbigen Bereichs, wenn wir a betrachten$n \times n$Netz. Daher können wir eine Zerlegung beliebig nahe finden$1$durch Spielen mit$n$.

Ich möchte hier eine Familie von Lösungen vorstellen, die ich (vielleicht voreilig ...) als diskrete Version der von @Gâteau-Gallois verwendeten Methode betrachte. Diese Präsentation stützt sich auf die grafische Darstellung des gemeinsamen PDF$f_{(X,Y)}$, auf dieser Figur als Fläche dargestellt$z=f_{(X,Y)}(x,y)$bei einer Unterteilung des Platzes$[0,1] \times [0,1]$in ein$3 \times 3$Netz:

Abb. 1: Fall von a$3 \times 3$Raster: Das Fugen-PDF mit 5 Quadern nach Treppenmuster + einem isolierten Quader ; Die Idee ist, dass der größte Teil der "Masse" entlang der Diagonale mit Gleichung gruppiert ist$x+y=1$.

Der grüne Teil (achten Sie nicht auf die vertikalen Flächen) ist ein "Plateau", das sich in der Höhe befindet$z=\frac32$damit das Gesamtvolumen unter der Oberfläche liegt$\frac69 \times \frac32 = 1$. Es ist klar, dass die Ränder einheitlich sind.

Eine kleine Rechnung zeigt:

$$\mathbb{P}(X+Y>1)=\frac{7}{12} \approx 0.583$$

was größer ist als$\frac12$, um eine erste eindeutige Antwort auf Ihre Frage zu geben. Aber es gibt noch mehr zu sagen. Siehe unten.

Bemerkung: Die Ränder$X$Und$Y$sind nicht unabhängig. Hier ein Gegenbeispiel:$\mathbb{P}(X>2/3)=\mathbb{P}(Y>2/3)=\frac13 \ $, während$\ \mathbb{P}(X>2/3 \ \text{and} \ (Y>2/3))=0 \ \ne \ \mathbb{P}(X>2/3).\mathbb{P}(Y>2/3)$.

Lassen Sie uns nun andere PDFs nach demselben Modell erstellen: Anstelle von a$3 \times 3$Gitter, man kann ein nehmen$4 \times 4$Gitter, auf dem 8 Quader platziert sind: 7 davon auf einem Treppenmuster, das der Diagonalen mit Gleichung folgt$x+y=1$und ein 8. isolierter Quader in der Nähe des Ursprungs. In diesem Fall erhält man:

$$\mathbb{P}(X+Y>1)=\frac58 = 0.625$$

was eine Verbesserung gegenüber dem vorherigen Wert darstellt.

Allgemeiner kann man eine nehmen$n \times n$Unterteilung mit gleicher Struktur ($2n-1$Quader im Treppenmuster +$1$isolierter Quader in der Nähe des Ursprungs), was den allgemeinen Wert ergibt:

$$\text{general} \ n \times n \ \text{case}: \ \ \mathbb{P}(X+Y>1)=\dfrac{3n-2}{4n}$$

was dazu neigt$\dfrac{3}{4}$Wenn$n \to \infty$. Und nicht zu$1$.

Als Schlussfolgerung kann dieser allgemeine Fall zwar als diskrete Version der von @Gâteau-Gallois (mit$\varepsilon = \frac1n$), ist es unmöglich, auf diese Weise einen Wert für zu erhalten$\mathbb{P}(X+Y>1)$ willkürlich nahe$1$... was mich an der Schlussfolgerung von Gâteau-Gallois zweifeln lässt : Ich möchte die "Formen" der mit diesen Fällen verbundenen gemeinsamen PDFs "sehen/verstehen", wo$\mathbb{P}(X+Y>1)$ist willkürlich nahe$1$.

Bearbeiten: Ich habe dank der zweiten Version der Antwort von Gâteau-Gallois die Quelle der Diskrepanz zwischen meinen und seinen Ergebnissen verstanden.