Jeweils zwei Koordinatensätze in den Frames OOO und O′O′ O′ (Lorentz-Transformation)

Die Antwort ist JA . Zwar hängt das Koordinatensystem (u′,v′,w′) auch durch die Orthonormalmatrix A mit (x′,y′,z′) zusammen, zumindest unter den im Folgenden verwendeten Lorentz-Transformationen. Aber lassen Sie bitte andere Symbole verwenden (z. B. ist es üblich zu verwenden$\;\upsilon\;$für die algebraische Größe der Geschwindigkeit$\:\mathbf{v}=\upsilon\mathbf{n}\:$).

ABSCHNITT A: Die Antwort ist JA.

Lassen Sie die beiden Koordinatensysteme$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$Und$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$mit jeweils 4-Vektoren

$$\begin{equation} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ ct\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ ct\\ \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_4^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} \tag{A-01} \end{equation}$$

Das System$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$bewegt sich mit Geschwindigkeit$\:\mathbf{v}=\upsilon\mathbf{n}=\upsilon\left(n_1,n_2,n_3\right)$,$\:\upsilon \in \left(-c,+c\right)\:$, gegenüber$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$sie sind also durch eine Lorentz-Transformation verwandt$\:\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)\:$, eine Funktion von$\: \mathbf{v}\:$:

$$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)\mathbf{X} \tag{A-02} \end{equation}$$

Wir verwenden eine solche Lorentz-Transformation wo für die inverse

$$\begin{equation} \Bbb{L}^{-1}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right) \tag{A-03} \end{equation}$$

Nehmen wir nun an, dass das Koordinatensystem$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$erfährt eine Wandlung zu$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$durch eine Drehung

$$\begin{equation} \mathbf{W}= \Bbb{A}\mathbf{X}= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A} & \boldsymbol{0} \\ & \\ \boldsymbol{0}^{\rm{T}} & 1 \end{bmatrix} \mathbf{X} \tag{A-04} \end{equation}$$ Wo $\:\rm{A}$= $\:3\times 3\:$Rotationsmatrix, $\: \boldsymbol{0}\:$Die $\:3\times 1\:$ Nullspaltenvektor und $\: \boldsymbol{0}^{\rm{T}} \:$es ist transponiert $\:1\times 3\:$ Nullzeilenvektor

$$\begin{equation} \boldsymbol{0}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad , \quad \boldsymbol{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \end{bmatrix} \tag{A-05} \end{equation}$$

Nun lassen Sie ein System$\;Ow_1^{\boldsymbol{\prime}} w_2^{\boldsymbol{\prime}} w_3^{\boldsymbol{\prime}} t^{\boldsymbol{\prime}} \;$bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit in Bezug auf$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$als$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$gegenüber$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$. Dann

$$\begin{equation} \mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\mathbf{W} \tag{A-06} \end{equation}$$

wo jetzt das Geschwindigkeitsargument der Lorentz-Transformation steht$\:\rm{A}\mathbf{v}\:$wie gesehen von$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$und nicht$\:\mathbf{v}\:$wie gesehen von$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$.

Aus den Gleichungen (A-02), (A-03), (A-04) und (A-06) ist die Beziehung von$\:\mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}\:$Und$\:\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\:$Ist

$$\begin{equation} \mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\mathbf{W}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\Bbb{A}\mathbf{X}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\Bbb{A}\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \tag{A-07} \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right) \tag{A-08} \end{equation}$$ Die Frage ist ob $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\equiv \Bbb{A} \quad \textbf{(???)} \tag{A-09} \end{equation}$$ in diesem Fall wird (A-08) ausgedrückt als $$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A} \quad \textbf{(???)} \tag{A-10} \end{equation}$$

Wir werden die folgende Art von Lorentz-Transformationen verwenden, siehe Abschnitt B , Gleichungen (B-27), (B-28) dort.

$$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&(\gamma-1)n_1n_2&(\gamma-1)n_1n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&1+(\gamma-1)n_2^{2}&(\gamma-1)n_2n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&(\gamma-1)n_3n_2&1+(\gamma-1)n_3^{2}&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\gamma& \end{bmatrix} \tag{A-11} \end{equation}$$ und in Blockform $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-12} \end{equation}$$

Wo$\:\mathbf{n}\:$A$\:3\times 1\:$Einheitsspaltenvektor und$\: \mathbf{n}^{\rm{T}} \:$es ist transponiert$\:1\times 3\:$Einheitszeilenvektor

$$\begin{equation} \mathbf{n}= \begin{bmatrix} n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{n}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} n_1&n_2&n_3 \end{bmatrix} \tag{A-13} \end{equation}$$ Und $\:\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\:$eine lineare Transformation, die vektorielle Projektion auf die Richtung $\:\mathbf{n}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1&n_2&n_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_1^{2} & n_1 n_2 & n_1 n_3\\ n_2 n_1 & n_2^{2} & n_2 n_3\\ n_3 n_1 & n_3 n_2 & n_3^{2} \end{bmatrix} \tag{A-14} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{L}^{-1}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-15} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{L}(\rm{A}\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-16} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A} & \boldsymbol{0} \\ & \\ \boldsymbol{0}^{\rm{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \nonumber \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} &\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-17} \end{equation}$$

$$\begin{align} &\Bbb{L}(\rm{A}\mathbf{v})\cdot\Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \nonumber\\ &\begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ &= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{\rho} \\ & \\ \boldsymbol{\sigma}^{\rm{T}} & a \end{bmatrix} \tag{A-18} \end{align}$$ Seit $\:\rm{A}\rm{A}^{\rm{T}}=I=\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\:$Und $\:\mathbf{n}^{\rm{T}}\mathbf{n}=1\:$

$$\begin{equation} a=\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right)\left(+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)+\gamma^{2}=-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A} \mathbf{n}+\gamma^{2}=1 \tag{A-19} \end{equation}$$

$$\begin{align} \boldsymbol{\rho}&=\left[I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right]\left(+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)-\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n} \nonumber\\ &=\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}+\gamma(\gamma-1)\dfrac{\upsilon}{c}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} \rm{A} \mathbf{n}-\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}=\boldsymbol{0} \tag{A-20} \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma}^{\rm{T}}&=\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right)\left[\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right]+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} \nonumber\\ &=-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}-\gamma(\gamma-1)\dfrac{\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}=\boldsymbol{0}^{\rm{T}} \tag{A-21} \end{align}$$ und schlussendlich $$\begin{align} \rm{A}^{\boldsymbol{\prime}}&=\left[I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right]\left[\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right]+\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)\left(+\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right) \nonumber\\ &=\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}+(\gamma-1)^{2}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \nonumber\\ &=\rm{A}+2(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+(\gamma-1)^{2}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}=\rm{A} \tag{A-22} \end{align}$$ Also sind die Gleichungen (A-09) und (A-10) gültig $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\equiv \Bbb{A} \tag{A-09$^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A} \tag{A-10$^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$

---

ABSCHNITT B : Die Lorentz-Transformation, Gleichungen (A-11) & (A-12).

In der Abbildung oben ist die sogenannte Standardkonfiguration dargestellt. Das System$\:O^{\boldsymbol{\prime}}x^{\boldsymbol{\prime}}y^{\boldsymbol{\prime}}z^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\:$bewegt sich mit Geschwindigkeit$\: \mathbf{v}_{o}=\upsilon\mathbf{e}_1\:$,$\:\upsilon \in \left(-c,+c\right)\:$, gegenüber$\:Oxyzt\:$entlang ihrer gemeinsamen$\:x$-Achse.

Unter Verwendung der Vierervektoren

$$\begin{equation} \mathbf{R} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ ct\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{r}\\ \\ ct\\ \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x^{\boldsymbol{\prime}}\\ y^{\boldsymbol{\prime}}\\ z^{\boldsymbol{\prime}}\\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{r}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix}\\ \tag{B-01} \end{equation}$$ der LT für die Standardkonfiguration ist $$\begin{equation} \begin{bmatrix} x^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ y^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ z^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&\\ &&&&&\\ &0&\ \ 1\ \ \ &\ \ \ 0\ \ &0&\\ &&&&&\\ &0&0&1&0&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&0&0&\gamma &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ \\ y\\ \\ z\\ \\ ct \end{bmatrix} \tag{B-02} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \mathbf{R}^{'} =\ \Bbb{B}\ \mathbf{R}\\ \tag{B-03} \end{equation}$$ Wo $\ \Bbb{B}\ $ist die 4x4-Matrixdarstellung von LT zwischen den beiden Systemen in der Standardkonfiguration $$\begin{equation} \Bbb{B}(\upsilon)\ =\ \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&\\ &&&&&\\ &0&\ \ 1\ \ \ &\ \ \ 0\ \ &0&\\ &&&&&\\ &0&0&1&0&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&0&0&\gamma &\\ \end{bmatrix} \tag{B-04} \end{equation}$$ Es ist klar, dass $\Bbb{B}$ist eine Funktion des reellen Skalarparameters der Geschwindigkeit $\upsilon$.Der Velocity-Parameter $\upsilon$in nicht unbedingt die Norm des Geschwindigkeitsvektors, also nicht negativ. Negative Werte bedeuten Verschiebung zu den negativen Werten der Achse $Ox$.

Auch$\:\gamma\:$ist der bekannte Faktor

$$\begin{equation} \gamma\ \stackrel{\text{def}}{\equiv} \ \left(1-\frac{\upsilon^2}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^2}{c^{2}}}}\\ \tag{B-05} \end{equation}$$

Das müssen wir an dieser Stelle anmerken$\ \Bbb{B}\ $hat 3 Haupteigenschaften: (1) es ist symmetrisch (2) seine Umkehrung ist die gleiche wie invertiert$\upsilon$und (3) es ist von der Einheitsdeterminante:

$$\begin{equation} \Bbb{B}^{\rm{T}}(\upsilon)=\Bbb{B}(\upsilon)\quad, \quad \Bbb{B}^{-1}(\upsilon)=\Bbb{B}(-\upsilon)\quad, \quad \det{\Bbb{B}(\upsilon)}=1 \tag{B-06} \end{equation}$$ Um die Standardkonfiguration allgemeiner zu machen, ist diese nicht auf Geschwindigkeiten parallel zur gemeinsamen Achse beschränkt $\ Ox\equiv Ox^{'}$, machen wir eine Drehung $\;S\;$des Raumkoordinatensystems aus $\ (x,y,z)\equiv\mathbf{r}\ $Zu $\ (x_1,x_2,x_3)\equiv\mathbf{x}\ $so dass die Geschwindigkeit $$\begin{equation} \mathbf{v}_{0}=(\upsilon,0,0)=\upsilon(1,0,0)=\upsilon \mathbf{e}_{1} \tag{B-07} \end{equation}$$ des Systems $\ O^{'}x^{'}y^{'}z^{'}\ $relativ zu $\ Oxyz\ $, umgewandelt werden $$\begin{equation} \mathbf{v}=(\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3)=\upsilon(n_1,n_2,n_3)=\upsilon \mathbf{n} \tag{B-08} \end{equation}$$ Wo $\ \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)\ $ist ein Einheitsvektor. Um das räumliche Koordinatensystem richtig orthonormal zu halten, wählen wir eine beliebige orthogonale Matrix $\;S\;$mit positiver Einheitsdeterminante: $$\begin{equation} S=\begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \tag{B-09} \end{equation}$$

Da müssen wir haben

$$\begin{equation} S\mathbf{v}_{0}=\mathbf{v} \tag{B-10} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &1&\\ &0&\\ &0& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &n_1&\\ &n_2&\\ &n_3& \end{bmatrix} \tag{B-11} \end{equation}$$ Dann $$\begin{equation} \begin{bmatrix} &s_{11}&\\ &s_{21}&\\ &s_{31}& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &n_1&\\ &n_2&\\ &n_3& \end{bmatrix} \tag{B-12} \end{equation}$$ Die Zeilen oder Spalten von $\;S\;$stellen ein rechtes Orthonormalsystem dar, also $$\begin{equation} SS^{\rm{T}}=I=S^{\rm{T}}S \tag{B-13} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} S^{-1}=S^{\rm{T}} \tag{B-14} \end{equation}$$ Der $4\times4$Matrix ist in Blockform $$\begin{equation} \Bbb{S}\ =\ \begin{bmatrix} & S &\mathbf{0}&\\ &&&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\ \ 1\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-15} \end{equation}$$ wobei, wie in Definitionen (A-05) $$\begin{equation} \boldsymbol{0}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad , \quad \boldsymbol{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \end{bmatrix} \tag{A-05} \end{equation}$$

Nun, wenn im akzentuierten System$\ O^{\boldsymbol{\prime}}x^{\boldsymbol{\prime}}y^{\boldsymbol{\prime}}z^{\boldsymbol{\prime}}\ $die gleiche exakt räumliche Transformation$\;S\;$wird von verwendet$\ (x^{\boldsymbol{\prime}},y^{\boldsymbol{\prime}},z^{\boldsymbol{\prime}})\equiv\mathbf{r}\ $Zu$\ (x_1^{\boldsymbol{\prime}},x_2^{\boldsymbol{\prime}},x_3^{\boldsymbol{\prime}})\equiv\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\ $Dann

$$\begin{equation} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ ct \end{bmatrix} =\Bbb{S}\mathbf{R}= \begin{bmatrix} \\ S\mathbf{r}\\ \\\ ct \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_4^{\boldsymbol{\prime}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} =\Bbb{A}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \\ S\mathbf{r}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix}\\ \tag{B-16} \end{equation}$$ und wir fahren fort, die Transformation zwischen den neuen Koordinaten zu finden, $\;\mathbf{X}\;$Und $\;\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\;$, aus der Beziehung zwischen $\;\mathbf{R}\;$Und $\;\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}}\;$, siehe Gleichungen (B-02) bis (B-04):
$$\begin{eqnarray} \mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{B}\mathbf{R} \nonumber\\ \Bbb{S}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{S}\Bbb{B}\mathbf{R} \nonumber\\ \Bbb{S}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \left[\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\right]\left[\Bbb{S}\mathbf{R}\right] \nonumber\\ \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \left[\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\right]\mathbf{X} \nonumber\\ \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{L}\mathbf{X} \tag{B-17} \end{eqnarray}$$ Die neue Matrix für die Lorentz-Transformation ist also $$\begin{equation} \Bbb{L}=\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\\ \tag{B-18} \end{equation}$$ und durch die Gleichungen (B-13) und (B-14) $$\begin{equation} \Bbb{S}^{-1}= \begin{bmatrix} &S^{-1}\ &\boldsymbol{0}&\\ &&&\\ &\boldsymbol{0}^{\rm{T}}& 1 &\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & S^{\rm{T}}&\boldsymbol{0}&\\ &&&\\ &\boldsymbol{0}^{\rm{T}}& 1 &\\ \end{bmatrix} = \Bbb{S}^{\rm{T}} \tag{B-19} \end{equation}$$ Der $4\times4$Matrix $\;\Bbb{B}\;$definiert durch Gleichung (B-04) wird in Blockform ausgedrückt $$\begin{equation} \Bbb{B} = \begin{bmatrix} &B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-20} \end{equation}$$ Wo $\;B\;$ist der $3\times3$Matrix
$$\begin{equation} B= \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&\\ &0&1&0&\\ &0&0&1&\\ \end{bmatrix} \tag{B-21} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \mathbf{v}_{0}\equiv \begin{bmatrix} \upsilon\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =\upsilon \mathbf{e}_{1} \ \ \text{ with transpose }\ \ \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} \ \ \upsilon\ \ 0\ \ 0\ \\ \end{bmatrix} \tag{B-22} \end{equation}$$ So $$\begin{eqnarray} \Bbb{L}&=& \Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}=\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{\rm{T}} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &S&\hspace{5mm}\mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\hspace{5mm}1&\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}&\hspace{5mm} \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\hspace{5mm}1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &SB&-\;\dfrac{\gamma S\mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}& \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &S B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}& \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &SBS^{\rm{T}}&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \nonumber \end{eqnarray}$$ das ist $$\begin{equation} \Bbb{L}= \begin{bmatrix} &SBS^{\rm{T}}&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-23} \end{equation}$$

Für die$3\times3$Matrix$\;SBS^{\rm{T}}\;$wir haben

$$\begin{equation} \begin{split} SBS^{T}& \quad = \quad \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&\\ &0&1&0&\\ &0&0&1& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{21}&s_{31}&\\ &s_{12}&s_{22}&s_{32}&\\ &s_{13}&s_{23}&s_{33}& \end{bmatrix} \\ &\\ & \quad = \quad \begin{bmatrix} &\gamma s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &\gamma s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &\gamma s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{21}&s_{31}&\\ &s_{12}&s_{22}&s_{32}&\\ &s_{13}&s_{23}&s_{33}& \end{bmatrix} \\ &\\ & \stackrel{(B-13)}{=} \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)s_{11}^{2}&\ \ (\gamma-1)s_{11}s_{21}\ \ &(\gamma-1)s_{11}s_{31}&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)s_{21}s_{11}&\ \ 1+(\gamma-1)s_{21}^{2}\ \ &(\gamma-1)s_{21}s_{31}&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)s_{31}s_{11}&\ \ (\gamma-1)s_{31}s_{21}\ \ &1+(\gamma-1)s_{31}^{2}& \end{bmatrix}\\ &\\ & \stackrel{(B-12)}{=} \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&\ \ (\gamma-1)n_1n_2\ \ &(\gamma-1)n_1n_3&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&\ \ 1+(\gamma-1)n_2^{2}\ \ &(\gamma-1)n_2n_3&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&\ \ (\gamma-1)n_3n_2\ \ &1+(\gamma-1)n_3^{2}& \end{bmatrix}\\ &\\ & \quad = \quad I+(\gamma-1) \begin{bmatrix} n_1\\ \\ n_2\\ \\ n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1\ \ n_2\ \ n_3 \end{bmatrix} \quad = \quad I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \end{split} \tag{B-24} \end{equation}$$ und schlussendlich $$\begin{equation} SBA^{T}= I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \tag{B-25} \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} \mathbf{n}\equiv \begin{bmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\\ \end{bmatrix} \ \ \text{ with transpose }\ \ \mathbf{n}^{\rm{T}} = \begin{bmatrix} \ \ n_1\ \ n_2\ \ n_3\ \\ \end{bmatrix} \tag{B-26} \end{equation}$$ Durch Gleichung (B-23) der detaillierte Ausdruck von $\; \Bbb{L} \;$Ist $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&(\gamma-1)n_1n_2&(\gamma-1)n_1n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&1+(\gamma-1)n_2^{2}&(\gamma-1)n_2n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&(\gamma-1)n_3n_2&1+(\gamma-1)n_3^{2}&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\gamma& \end{bmatrix} \tag{B-27} \end{equation}$$ und in Blockform $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{T}}{c}&\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{B-28} \end{equation}$$ wobei klar ist, dass diese Transformation eine Funktion des Geschwindigkeitsvektors ist $\;\mathbf{v}\;$nur von den drei reellen skalaren Parametern $\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3$.

Beachten Sie, dass unter dieser allgemeineren Lorentz-Transformation die Transformationen des Positionsvektors liegen$\:\mathbf{x}\:$und Zeit$\:t\:$Sind

$$\begin{equation} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{B-29a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{\prime}} = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\circ \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{B-29b} \end{equation}$$ Wo " $\circ$" das übliche Innenprodukt in $\:\mathbb{R}^{3}\:$.

In differentieller Form

$$\begin{equation} d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} = d\mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ d\mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}dt \tag{B-30a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} dt^{\boldsymbol{\prime}} = \gamma\left(dt-\dfrac{\mathbf{v}\circ d\mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{B-30b} \end{equation}$$

Also, wenn sich ein Teilchen mit Geschwindigkeit bewegt$\:\mathbf{u}=\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\:$im System$\:Ox_1x_2x_3\:$dann seine Geschwindigkeit$\:\mathbf{u}^{\boldsymbol{\prime}}=\dfrac{d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{dt^{\boldsymbol{\prime}}}\:$gegenüber$\:Ox_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}\:$ergibt sich aus der Teilung von (B-30a) und (B-30b) nebeneinander

$$\begin{equation} \mathbf{u}^{'} = \dfrac{\mathbf{u}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ \mathbf{u})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}}{\gamma \Biggl(1-\dfrac{\mathbf{v}\circ \mathbf{u}}{c^{2}}\Biggr)} \tag{B-31} \end{equation}$$

Gleichung (B-31) ist eine Verallgemeinerung der Addition von Geschwindigkeiten in der Speziellen Relativitätstheorie, die nicht auf kollineare Geschwindigkeiten beschränkt ist. Hier ist (B-31) das Ergebnis der Addition von Geschwindigkeiten$\:-\mathbf{v}\:$Und$\:\mathbf{u}\:$.

Eine Lorentz-Transformation ist eine Transformation, die geht$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$unverändert. Also eine Drehung (die verlässt$dx^2+dy^2+dz^2$unverändert und ändert sich nicht$t$) ist eine besondere Art der Lorentz-Transformation, eine, die hat$t'=t.$

Kannst du dich also um L drehen und dann um A drehen? Sicher.

Kannst du dich um A drehen und dann um L drehen? Sicher.

Bekommst du so oder so die gleiche Antwort? Vielleicht nicht.

Wenn Sie also eine Lorentz-Transformation L und dann eine Drehung A durchführen, erhalten Sie möglicherweise nicht die gleiche Antwort, als wenn Sie zuerst um A gedreht und dann eine Lorentz-Transformation L durchgeführt hätten.