Wie definieren wir rekursive Klassenfunktionen wie α↦Vαα↦Vα\alpha \mapsto V_\alpha und α↦Lαα↦Lα\alpha \mapsto L_\alpha in der Sprache der Mengenlehre?

Im Sinne$V=L$,$V$hat eine kinderleichte Definition -$V$ist die Klasse aller Mengen$V=\{x|x=x\}$. Sie könnten die Definition "Hierarchie" verwenden$V=\bigcup_{\alpha\in{\sf ON}}V_\alpha$, aber das ist übertrieben. Aber das müssen wir auf jeden Fall machen$L$, also hier sind die Schritte:

• Definieren Sie eine "akzeptable Funktion" als eine Funktion auf einer Ordnungszahl, die die Rekursionsbeziehung erfüllt
• Definieren Sie die Klassenfunktion$\alpha\mapsto L_\alpha$als Vereinigung aller akzeptablen Funktionen

Ich gehe davon aus, dass Sie bereits definiert haben${\cal P}_L$als Funktion in der Mengenlehre (die selbst ziemlich kompliziert ist und das Erfüllbarkeitsprädikat und Gödel-Codes und all das beinhaltet). Dann:

$$L=\bigcup\{f:\exists x\in{\sf ON}(f:x\to V\wedge\forall y\in x\,f(y)=\\{\rm if}(y=\emptyset,\emptyset,{\rm if}(y={\small\bigcup}y,{\small\bigcup}f[y],{\cal P}_L(f({\small\bigcup}y)))))\}$$

Lassen Sie uns das ein wenig aufschlüsseln. Der Endausdruck${\rm if}(y=\emptyset,\emptyset,{\rm if}(y={\small\bigcup}y,{\small\bigcup}f[y],{\cal P}_L(f({\small\bigcup}y)))$ist eine Einteilung in Fälle: Wenn$y$ist die leere Menge, gib die leere Menge zurück; Wenn$y$ist eine Grenzordnungszahl, das heißt$y=\bigcup y$, geben Sie dann die Vereinigung aller vorherigen zurück$f(y)$'s, was kurz ausgedrückt wird als$\bigcup f[y]$, Wo$f[y]$ist das Bild der Funktion$f$unter dem Satz$y$. Ansonsten$y$ist ein Nachfolger und der Vorgänger von$y$Ist$\bigcup y$. Dann${\cal P}_L(f({\small\bigcup}y))$gibt uns die$L$-powerset des vorherigen Wertes.

Dies wird alles gleich dem Wert von gesetzt$f(y)$, also geben wir die Werte von an$f$in Bezug auf alle vorherigen Werte. Das transfinite Rekursionstheorem stellt dies für eine gegebene Domänenordnungszahl sicher$x$, gibt es eine eindeutige Funktion, die alle diese Eigenschaften erfüllt, und für unterschiedliche Domänenordnungszahlen sind die Funktionen Enderweiterungen voneinander, sodass die Vereinigung aller dieser Funktionen eine einzige wohldefinierte Funktion ist${\sf ON}$.

Damit ist die Funktion definiert $L:{\sf ON}\to V$so dass$L(\alpha)=L_\alpha$nach den üblichen Regeln, das heißt:$L(\emptyset)=\emptyset$,$L(\operatorname{suc}\alpha)={\cal P}_L(L(\alpha))$, Und$L(\delta)=\bigcup_{\beta<\alpha}L(\beta)$Wenn$\delta$ist eine Grenzordnungszahl. Es hilft auch, diese Definition und die Theoreme zu untersuchen , die ihre Richtigkeit auf Metamath beweisen . Dann die Klasse $L$ist definiert als$\bigcup L[{\sf ON}]$, die Vereinigung des Wertebereichs dieser Funktion, und das Axiom der Konstruierbarkeit könnten direkt formuliert werden als$V=\bigcup L[{\sf ON}]$, oder nach einer Definition Entpacken als

$$\forall x\,\exists y\in{\sf ON}\,x\in L(y).$$

Wenn Sie ersetzen${\cal P}_L$überall mit${\cal P}$, erhalten Sie stattdessen die Funktion$\alpha\to V_\alpha$, und es gibt einen nichttrivialen Satz, der im Wesentlichen vom Gründungsaxiom abhängt, das zeigt, dass der Wertebereich dieser Funktion ist$V$. (Es scheint, dass Sie in Ihrem Beitrag die gegenteilige Haltung einnehmen, wo$V$ist als diese Vereinigung definiert und der nichttriviale Satz besagt, dass jede Menge drin ist$V$. Nur damit wir klar sind, definiere ich$V$der Klassenersteller zu sein, den ich eingangs erwähnt habe.) Tatsächlich$V=\bigcup_{\alpha\in{\sf ON}}V_\alpha$ist ein Äquivalent zum Gründungsaxiom.

Die Idee ähnelt der Methode zum Codieren rekursiver Definitionen in$\sf PA$. Wir verwenden Rekursion und die Tatsache, dass wir auf Folgen von Mengen "zugreifen" können, um etwas zu sagen "$F(\alpha)=X_\alpha$wenn es eine Folge von Längenmengen gibt$\alpha$, so dass bla bla bla".

Zum Beispiel bei der Funktion$V(\alpha)=V_\alpha$wir können die folgende Aussage schreiben:

$V(\alpha)=x$genau dann, wenn es eine Folge von Längenmengen gibt$\alpha$,$\langle x_i\mid i\leq\alpha\rangle$so dass$x_0=\varnothing$, für jeden$i$,$x_{i+1}$ist die Potenzmenge von$x_i$, und wenn$j$ist dann eine Grenzordnungszahl$x_j=\bigcup\{x_i\mid i<j\}$, Und$x=x_\alpha$.

Beachten Sie, dass all diese in der Sprache der Mengenlehre geschrieben werden können. Es ist nur ein schrecklicher Schmerz im unteren unteren Rücken, dies zu tun.

Ähnlich,$L(\alpha)=x$ist noch komplexer, da wir nicht nur schreiben$x_{i+1}$ist die Potenzmenge von$x_i$, sondern die definierbare Potenzmenge von$x_i$über die Sprache$\{\in\}$. Dies erfordert, dass wir uns auf eine andere Definition von Wahrheitsprädikaten, Formeln, Logik usw. beziehen.

Aber sobald Sie wissen, dass es eine Formel gibt$\psi(S,M,\ulcorner\varphi(x,u)\urcorner,p,A)$dessen Inhalt ist "$S$ist eine Sprache erster Ordnung, und$M$ist eine Deutung für$S$, Und$\ulcorner\varphi(x,p)\urcorner$ist eine Formel mit freien Variablen$x$Und$u$(Parameter) und$A$ist der Satz$\{x\in M\mid M\models\varphi[x,p]\}$“, dann ist es so einfach wie zuvor.

Beachten Sie, dass ich mir nicht einmal die Mühe gemacht habe, anzugeben, dass diese Dinge nur für Ordnungszahlen definiert sind. Natürlich, wenn$a$ist keine Ordnungszahl, wir definieren nur$V(a)=\varnothing$oder so etwas, was eine weitere [letztendlich unwichtige] Komplikation zur Beschreibung der Funktion darstellt$\alpha\mapsto V_\alpha$.