Definition von Vektor

In einem Buch über Allgemeine Relativitätstheorie, das ich gerade lese, wird ein Vektor als ein Objekt oder eine Reihe von Zahlen definiert, die sich wie ein Vektor (unter Drehungen) transformieren. Das verstehe ich unter Rotation θ , ein Vektor P → 1 = ( P 1 , P 2 ) ⊺ verwandelt sich als

P → ' = R ( θ ) P → = ( P 1 cos ⁡ θ + P 2 Sünde ⁡ θ − P 1 Sünde ⁡ θ + P 2 cos ⁡ θ )
Dann gibt er jedoch ein Beispiel für ein Array aus zwei Zahlen P → = ( A P 1 , B P 2 ) ⊺ , Wo A ≠ B als etwas, das KEIN Vektor ist, aber das verwirrt mich. Wie können Sie zeigen, dass dies kein Vektor aus der Wirkung der Rotationsmatrix darauf ist? Würde es sich nicht einfach multiplizieren, wie es ein anderer Vektor unter einer Drehung tut? Hier muss etwas Einfaches sein, das mir fehlt.

Gibt es noch einen anderen Kontext, der hier fehlen könnte?
Ich hoffe, es definiert einen Vektor nicht wirklich als etwas, das sich wie ein Vektor transformiert. Das wäre eine zirkuläre Definition.
P → ' ist sowieso kein Vektor, basierend darauf, wie Sie ihn definiert haben. Es scheint eine 2x2-Matrix zu sein.
Entschuldigung, das war ein Tippfehler. Ich glaube, ich verstehe, was er meint. Ich bin mir ziemlich sicher, dass er sagt, dass sich bei einer Rotation die Komponenten des „Vektors“ entsprechend transformieren sollten. Also zum Beispiel P 1 → cos ⁡ θ P 1 + Sünde ⁡ θ P 2 . Dann stecken Sie dies in das Ding, das Sie überprüfen möchten, ob es ein Vektor ist, und sehen, ob es sich entsprechend transformiert.
@G.Smith es ist nicht kreisförmig, nein. aus wichtigem Grund!
Es ist nicht kreisförmig. Es ist eine gute Definition. Der Punkt, der in der Frage fehlt, ist die Annahme, dass sich p1 und p2 als cpts eines Vektors transformieren, sodass sich die Spalte (ap1, bp2) nur dann als Vektor transformiert, wenn a = b

Antworten (1)

Nennen wir die Spalte nicht mit demselben Namen wie der Vektor P → . Wir haben also zwei Objekte,

P → = ( P 1 , P 2 ) T S ( A , B ) = ( A P 1 , B P 2 ) T ,
wo die Komponenten des Vektors P → Transformieren Sie gemäß der von Ihnen angegebenen Gleichung, und ich nehme an A Und B sind Skalare (also ändern sie sich bei einer Rotation nicht; sagen wir, sie sind nur die Temperatur und der Druck am betreffenden räumlichen Punkt).

Nun wollen wir sehen, wie S transformiert, unter der Annahme, dass seine Transformation von den Transformationen von geerbt wird P 1 Und P 2 . Wir haben

S ' ( A , B ) = ( A ( P 1 cos ⁡ ( θ ) + P 2 Sünde ⁡ ( θ ) ) B ( − P 1 Sünde ⁡ ( θ ) + P 2 cos ⁡ ( θ ) ) ) .
Jetzt S ( A , B ) verdient den Namen "Vektor", wenn es sich als Vektor umwandelt, was erforderlich wäre
S ( A , B ) ⟶ ( S 1 cos ⁡ ( θ ) + S 2 Sünde ⁡ ( θ ) − S 1 Sünde ⁡ ( θ ) + S 2 cos ⁡ ( θ ) ) ,
Wo S 1 Und S 2 sind die Bestandteile von S ( A , B ) . Sie können sehen, dass dies möglich ist, wenn und nur wenn A = B .

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