Die lineare Algebra der Zustandsraumdarstellung wird nicht linear sein (Überlagerungssatz) ...

Question

Die lineare Algebra der Zustandsraumdarstellung wird nicht linear sein (Überlagerungssatz) ...

Mathematik
Kontrolltheorie
Lineare Algebra
mathematische Modellierung

Herr Mystère

Nachdem ich eine Frage zur Berechnung der Zustandsraumdarstellung einer Schaltung mit 3 Quellen darin beantwortet hatte (die Schaltung ist da), hatte ich Zweifel - bei der Überprüfung wurde klar, dass irgendwo etwas nicht stimmt.

Was wurde gemacht

Also löste ich die Schaltung für jede der eingeschalteten Quellen gleichzeitig. Am Ende hatte ich 3 Differentialgleichungen (nummeriert mit $i=1...3$ ):

a_{ich} \ddot{v_{Ö}} + β_{ich} \dot{v_{Ö}} + γ_{ich} v_{Ö} = δ_{ich} U_{ich}

$\alpha_{i}\ddot{V_o}+\beta_{i}\dot{V_o}+\gamma_i{V_o}=\delta_iU_i$ Wo

U_{i}

$U_i$ ist der Stromquellenwert.

Der Superpositionssatz sollte es mir ermöglichen, diese Differentialgleichungen zusammenzufassen, so dass:

\ddot{v_{Ö}} + A_{1} \dot{v_{Ö}} + A_{2} v_{Ö} = B_{1} {ICH}_{ich} + B_{2} v_{1} + B_{3} v_{2}

$\ddot{V_o}+a_{1}\dot{V_o}+a_2{V_o}=b_{1}I_i+b_2V_1+b_3V_2$ Mit

A_{2} = \frac{γ_{1}}{a_{1}} + \frac{γ_{2}}{a_{2}} + \frac{γ_{3}}{a_{3}}

$a_2=\frac{\gamma_1}{\alpha_1}+\frac{\gamma_2}{\alpha_2}+\frac{\gamma_3}{\alpha_3}$

A_{1} = \frac{β_{1}}{a_{1}} + \frac{β_{2}}{a_{2}} + \frac{β_{3}}{a_{3}}

$a_1=\frac{\beta_1}{\alpha_1}+\frac{\beta_2}{\alpha_2}+\frac{\beta_3}{\alpha_3}$

B_{ich} = \frac{δ_{ich}}{a_{ich}}

$b_i=\frac{\delta_i}{\alpha_i}$ Was im Zustandsraum dargestellt wird

\dot{X} = A X + B U

$\dot{X}=AX+BU$

v_{Ö} = C X + D U

$V_o=CX+DU$ Von

A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - A_{2} & - A_{1} \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -a_2 & -a_1 \end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ B_{1} & B_{2} & B_{3} \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{bmatrix}$

C = [1, 0]

$C=[1, 0]$

D = [0, 0, 0]

$D=[0,0,0]$ Für einen Zustandsvektor

X = [\begin{matrix} v_{Ö} \\ \dot{v_{Ö}} \end{matrix}]

$X=\begin{bmatrix} V_o\\ \dot{V_o} \end{bmatrix}$ Und Eingabevektor

U = [\begin{matrix} {ICH}_{ich} \\ v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}]

$U=\begin{bmatrix} I_i\\ V_1\\ V_2 \end{bmatrix}$

Ich habe eine Plausibilitätsprüfung jeder meiner elementaren Differentialgleichungen im stationären Zustand durchgeführt ( $V_o=\delta_i/\gamma_i*U_i$ ) und sie sind in Ordnung. Dann testete jeder von ihnen in seinem eigenen Zustandsraum-Simulink-Block, was gut aussah.

Frage

Der totale Zustandsraumblock, der wie die elementaren Differentialgleichungen gefüllt ist, aber stattdessen auf der Summe der Differentialgleichungen basiert, ist völlig falsch: Wenn ich z am Ende mit 32.

Irgendwo muss ein Fehler sein, und aufgrund dieser Hinweise würde ich dazu tendieren, in Zustandsraum umzuwandeln. Aber wo?

Das sollte ausreichen, um mir zu sagen, ob es etwas Grundlegendes ist - wenn alles gut aussieht, kann ich Bilder meiner Notizen hochladen.

Hier zur Veranschaulichung: Das obere Zustandsraummodell enthält die gesamte Differentialgleichung, und die 3 anderen sind die Differentialgleichungen des Schaltkreises für jede Stromquelle.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

obareey

Was steckt in diesen Zustandsraummodellen?

Herr Mystère

Ich habe meinen Beitrag mit dem aktualisiert, was drin ist, im Grunde die 3 elementaren Differentialgleichungen einerseits und die Summe all dieser andererseits.

Antworten (1)

Die lineare Algebra der Zustandsraumdarstellung wird nicht linear sein (Überlagerungssatz) ...

Ich habe meinen Beitrag mit dem aktualisiert, was drin ist, im Grunde die 3 elementaren Differentialgleichungen einerseits und die Summe all dieser andererseits.

obareey · Answer 1

Nach Ihrer Logik sollte die gesamte Differentialgleichung mit beginnen $3 \ddot{V}_0$ . Aber ich glaube, Sie haben den Superpositionssatz falsch interpretiert. Es besagt, dass, wenn Sie haben $y_i$ Ausgang für $u_i$ Eingabe, dann haben Sie $\sum_i y_i$ Ausgang für $\sum_i u_i$ Eingabe, für ein gegebenes System , dh für eine einzelne Differentialgleichung. Was Sie haben, sind 3 unabhängige Differentialgleichungen und Sie können sie nicht einfach "summieren". Sie müssen sehen, dass dies verschiedene Gleichungen sind und jede von ihnen zwei Zustände wie die folgenden hat:

[\begin{matrix} {\dot{v}}_{01} \\ {\ddot{v}}_{01} \\ {\dot{v}}_{02} \\ {\ddot{v}}_{02} \\ {\dot{v}}_{03} \\ {\ddot{v}}_{03} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - γ_{1} / a_{1} & - β_{1} / a_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - γ_{2} / a_{2} & - β_{2} / a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - γ_{3} / a_{3} & - β_{3} / a_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{01} \\ {\dot{v}}_{01} \\ v_{02} \\ {\dot{v}}_{02} \\ v_{03} \\ {\dot{v}}_{03} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ δ_{1} / a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & δ_{2} / a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & δ_{3} / a_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} {ICH}_{1} \\ v_{1} \\ v_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}\dot{V}_{01} \\ \ddot{V}_{01} \\ \dot{V}_{02} \\ \ddot{V}_{02} \\ \dot{V}_{03} \\ \ddot{V}_{03} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\gamma_1/\alpha_1 & -\beta_1/\alpha_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\gamma_2/\alpha_2 & -\beta_2/\alpha_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\gamma_3/\alpha_3 & -\beta_3/\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{V}_{01} \\ \dot{V}_{01} \\ {V}_{02} \\ \dot{V}_{02} \\ {V}_{03} \\ \dot{V}_{03} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \delta_1/\alpha_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \delta_2/\alpha_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \delta_3/\alpha_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_1 \\ V_1 \\ V_2 \end{bmatrix}$

j = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{01} \\ {\dot{v}}_{01} \\ v_{02} \\ {\dot{v}}_{02} \\ v_{03} \\ {\dot{v}}_{03} \end{matrix}]

$y = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{V}_{01} \\ \dot{V}_{01} \\ {V}_{02} \\ \dot{V}_{02} \\ {V}_{03} \\ \dot{V}_{03} \end{bmatrix}$

Um zu sehen, warum das Aufsummieren der Differentialgleichungen nicht funktioniert, betrachten Sie diese Gleichungen:

\dot{X} (T) + 2 X (T) = u (T) \dot{X} (T) + 3 X (T) = u (T)

$\dot{x}(t) + 2x(t) = u(t) \\ \dot{x}(t) + 3x(t) = u(t)$

Wo $u(t)$ ist die Sprungfunktion und $x(0)=0$ . Diese Gleichungen haben die Lösungen $(1-e^{-2t})/2$ Und $(1-e^{-3t})/3$ bzw. Das Summieren dieser Gleichungen ergibt die folgende Gleichung

2 \dot{X} (T) + 5 X (T) = 2 u (T)

$2\dot{x}(t) + 5x(t) = 2u(t)$

der die Lösung hat $2(1-e^{-5t/2})/5$ , die nicht die Summe der Lösungen der obigen Gleichungen ist.

Vielen Dank für diese sehr klare Antwort. In diesem Fall ist die Matrix C also [1 0 1 0 1 0] für y_total=y1+y2+y3, richtig? Sollten die 1er in der B-Matrix nicht auch durch delta_i/alpha_i (i von 1 bis 3) ersetzt werden?
@MisterMystère Du hast recht. Ich habe die Antwort korrigiert.
Ich habe meine oben zitierte Antwort geändert, wenn Sie einen kurzen Blick darauf werfen möchten - natürlich werden Sie erwähnt.
Übrigens frage ich mich, was zu tun ist, um Anfangsbedingungen festzulegen. Ich nehme an, ich kann einen V_0 nicht auf beispielsweise 230 Volt einstellen; und die anderen bei 0, weil die Ableitungen von V_0 abhängen, sodass die 3 Gleichungen inkohärent werden, oder? Aber ich kann nicht alle auf denselben Wert setzen, da die Summe dreimal so hoch ist. Und wenn ich das 2-fache subtrahiere, werden alle anderen Werte beschädigt. Was also tun?
Sie brauchen beides $V_{0i}(0)$ Und $\dot{V}_{0i}(0)$ für $i=1,2,3$ um die Gleichungen eindeutig zu lösen. Im Allgemeinen, wenn Sie haben $n$ gewöhnliche Differentialgleichung ter Ordnung, benötigen Sie $n-1$ Anfangsbedingungen, um eine eindeutige Lösung zu erhalten.
Ich meinte, ich weiß, was V_0 und seine Ableitung bei t = 0 sind, aber da jede elementare Differentialgleichung nur ein mathematisches Werkzeug ist, weiß ich nicht, wie die Aufschlüsselung der Anfangsbedingungen lautet. Dann kann ich keine Anfangsbedingungen setzen?
Wollen Sie sagen, dass Sie die Anfangsbedingungen in einer realen Anwendung nicht kennen? In der realen Welt können Sie manchmal davon ausgehen, dass sich das System anfänglich im Ruhezustand befindet, dh alle Anfangswerte sind 0, wenn Sie a priori Informationen über das System haben, z. B. wenn Sie eine elektronische Schaltung einschalten. Wenn Sie keine Informationen über die Anfangszustände des Systems haben, können Sie einen Beobachter entwerfen, um die Zustände aus den Ausgangsmessungen zu schätzen. Diese Lösungen helfen uns, das Systemverhalten für alle möglichen Anfangsbedingungen zu verstehen.
Ich versuche zu sagen, dass ich weiß, was das Gesamt-V_0 bei t=0s ist – nennen wir es K-, aber nicht das individuelle V_Oi bei t=0s. Ich könnte V01 und V02 und V03 bei t = 0 auf K / 3 setzen, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies das Verhalten des Modells vor Erreichen des stabilen Zustands nicht beeinträchtigen wird. Bei t=0s ist das System in Ruhe, also sind alle Ableitungen 0.

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