Wann ist das „Minuszeichenproblem“ in Quantensimulationen ein Hindernis?

Das Vorzeichenproblem ist in zwei Fällen ein Hindernis:

1) Simulation von Spin- oder Boson-Hamiltonianern mit geometrischer Frustration (obwohl wir uns hier auf die Marshall-Zeichenregel verlassen können, um uns zu sagen, welche Hamiltonianer immer positiv-definite Grundzustands-Wellenfunktionen haben werden)

2) Simulation von Fermi-Hamiltonianern abseits von speziellen Symmetriepunkten (in Bezug auf Kostyas Antwort integrieren wir die Grassmann-Felder immer analytisch - das Werkzeug dafür wird normalerweise als "Hubbard-Stratonovich-Transformation" bezeichnet, wodurch Sie ein bosonisches Hilfsfeld erhalten das Sie tasten durch Monte Carlo – das Vorzeichenproblem zeigt sich darin, dass Ihr Wahrscheinlichkeitsmaß wiederum nicht unbedingt positiv definit ist.Manchmal hat man aber zufällig Glück – das Hubbard-Modell mit einer attraktiven Wechselwirkung, oder allgemein bei der Hälfte Füllung, hat kein Vorzeichenproblem - aber das scheint bestenfalls Zufall zu sein.)

Eine gute Einführung in das Vorzeichenproblem findet sich hier: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0408370

Das Hauptproblem bei der "Neugewichtung" wird in Gleichung 7 dieses Papiers angegangen: exponentielles Wachstum des Fehlers sowohl bei der Partikelzahl als auch bei der inversen Temperatur (beide versuchen wir, auf unendlich zu skalieren ...)

Was den Gitterteil betrifft: Hier sind Sie daran interessiert, Monte-Carlo-Markov-Ketten zu erstellen, die aus der Summierung von Konfigurationen bestehen$s$, die jeweils ein bestimmtes Gewicht haben$p(s)$und für die Ihre Observable$O$nimmt den Wert$O(s)$. Normalerweise schlagen Sie eine neue Konfiguration vor$s'$Berechnen Sie bei jedem Schritt die Wahrscheinlichkeit relativ zu Ihrer aktuellen Konfiguration$p(s')/p(s)$, ziehen Sie eine Zufallszahl$q \in [0,1]$aus einem Hut und Sie wechseln Konfigurationen$s \mapsto s'$iff$p(s')/p(s) > q.$Wenn Sie also mit einer "positiven" Konfiguration beginnen, werden Sie niemals an einer "negativen" Konfiguration vorbeikommen, sodass ein erheblicher Teil (normalerweise ~ die Hälfte) Ihres Phasenraums von Ihrem Monte-Carlo-Lauf nie gesehen wird. Ihre endgültige Schätzung für$\langle O \rangle$wird also Unsinn sein.

[Anmerkung: Sie könnten ein anderes Schema vorschlagen (das obige heißt Metropolis), aber grundsätzlich stoßen Sie auf Probleme, da eine Markov-Kette mit negativen Gewichten keinen Sinn ergibt.]

Es gibt viel Literatur zum Vorzeichenproblem in der Gitter-QCD, da es im Allgemeinen noch offen ist. Ein typischer Ausweg ist die Neugewichtung ; indem man das anmerkt

$$p(s) = \frac{p(s)}{|p(s)|} |p(s)|,$$ Sie können sicher ein neues Gewicht wählen $\pi(s) = |p(s)| > 0$und multipliziere jede Observable mit dem Vorzeichen des Gewichts, $$O(s) \mapsto \frac{p(s)}{|p(s)|} O(s).$$ Dies kann jedoch teuer werden, und obwohl die Methode formal korrekt ist, ist sie nicht sehr elegant oder aufschlussreich. Da es sich jedoch um ein offenes Problem handelt, werden sich nicht alle über seinen Status oder einen Ausweg einig sein ...

Ich denke, dass in Ihrer Frage ein Problem leicht falsch dargestellt wird. Die Tatsache, dass quantenmechanische Amplituden im Allgemeinen komplexe Zahlen sind, ist nicht die Wurzel des Problems. Es wird normalerweise gelöst, indem man in die "imaginäre Zeit" geht. Durch Austausch$t\to -it$Sie erhalten effektiv das statistische mechanische Problem anstelle des quantenmechanischen:

$$t \to -it,\quad p_0\to -ip_0$$ $$\int\!\!\!\cal{D}\phi\; exp\left[i\int\!\!\!dt\; \cal{L}[\phi]\right] \to \int\!\!\!\cal{D}\phi\; exp\left[-\int\!\!\!dt\; H[\phi]\right]$$ Beachten Sie, dass Lagrange effektiv durch Hamilton ersetzt wird. Und anstatt einige komplexe Zahlen zu summieren, müssen wir die reellen und positiven Zahlen summieren. Das ist die Arbeit für den Metropolis-Algorithmus .

Die gute Nachricht ist, dass dies tatsächlich gut funktioniert. Die schlechte Nachricht ist, dass dies nur für bosonische Felder funktioniert. Für Fermionen liegt Ihr Pfadintegral über einem Grassmanschen Zahlenwertfeld. Und es gibt keine Möglichkeit, die Grassmasche Zahl in numerischen Berechnungen (gut, effektiv) darzustellen.

Es gibt viele Tricks, um mit Fermionen umzugehen, und dies ist ein sich schnell entwickelndes Gebiet, und ich bin überhaupt kein Experte darin. Eine Möglichkeit besteht darin, das Integral über die Fermionen analytisch zu berechnen, wobei nur (manchmal effektive) bosonische Freiheitsgrade übrig bleiben. Was Ihnen so etwas gibt wie:

$$\int\!\!\!\cal{D}\phi\; exp\left[-\int\!\!\!dt\; H[\phi]\right]\rho[\phi]$$ mit $\rho[\phi]$nicht unbedingt positiv sein. Hier hört Metropolis auf, effektiv und/oder sogar richtig zu funktionieren.

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