Warum haben Planeten keine Kreisbahnen?

Weil Umlaufbahnen allgemeine Kegelschnitte sind . Warum das wahr ist, ist eine weitere faszinierende Frage an und für sich, aber im Moment gehe ich einfach davon aus. Der Punkt ist, dass Kreisbahnen spezielle Beispiele für allgemeine Bahnen sind. Es ist durchaus möglich, eine kreisförmige Umlaufbahn zu erhalten, aber das Verhältnis zwischen den Geschwindigkeiten und dem Abstand der Körper muss genau richtig sein. In der Praxis ist das selten der Fall, es sei denn, wir planen es so (zB für Satelliten).

Wenn Sie einen Planeten wirklich hart um die Sonne werfen würden, würde seine Bahn durch die Schwerkraft der Sonne gebogen werden, aber er würde schließlich immer noch tangential davonfliegen. Wenn man es wirklich hart wirft, würde es fast geradeaus gehen, da es sich so schnell durch die Sonne bewegt. Wenn Sie die Geschwindigkeit verringern, wird die Sonne sie immer mehr biegen, und so fliegt die Tangente ab und wird immer mehr in Richtung Rückwärtsbewegung abgewinkelt. Allgemeine Hyperbeln sind also mögliche Bahnen. Wenn Sie es mit der richtigen Geschwindigkeit bewegen, ist es gerade langsam genug, dass andere Tangenten "genau nach hinten" zeigen, und hier ist die Bewegung eine Parabel. Weniger als das und der Planet wird eingenommen. Es hat zu diesem Zeitpunkt nicht genug Energie, um überhaupt zu entkommen.

Eine wesentliche Erkenntnis dabei ist, dass sich der Weg kontinuierlich mit der Anfangsgeschwindigkeit ändern sollte. Stellen Sie sich den gesamten Weg vor, den ein Planet mit hoher Geschwindigkeit vorgezeichnet hat. Sagen wir eine fast gerade Hyperbel. Wenn Sie nun die Geschwindigkeit kontinuierlich verringern, biegt sich die Hyperbel immer mehr ( kontinuierlich ), bis sie sich "ganz herum" biegt und zu einer Parabel wird. Nach diesem Punkt haben Sie eroberte Umlaufbahnen. Aber sie müssen stetige Änderungen von der Parabel sein . Alle eingefangenen Umlaufbahnen, die auf magische Weise Kreise sind (von welcher Größe überhaupt, da sie irgendwann wie Parabeln aussehen müssen?), Würden keinen Sinn ergeben. Stattdessen erhalten Sie Ellipsen, die immer kürzer werden, wenn Sie langsamer werden. Machen Sie so weiter, und diese Ellipsen werden mit einer kritischen Geschwindigkeit zu einem Kreis kommen.

Kreisbahnen sind also möglich , sie sind nur nicht allgemein . Tatsächlich würde ich sagen, die eigentliche Frage ist, warum die Umlaufbahnen oft so nahe an Kreisen sind, da es so viele andere Möglichkeiten gibt!

Das liegt daran, dass die Natur oft nicht so perfekt ist, wie wir uns das oft vorstellen :)

In Wirklichkeit hat die Erde in der Nähe der Sonne ein wenig "zu viel Geschwindigkeit", um so tief in der Schwerkraft der Sonne zu bleiben. Mit anderen Worten, die von der Sonne induzierte lokale Raumzeitkrümmung ist nicht stark genug, um die Erde so nah wie möglich an ihr zu halten, da sie sich auch seitwärts bewegt; Die Erde wird beginnen, aus der Schwerkraft herauszuklettern.

Aufbauend auf Ihrer Intuition aus dem Alltag wissen Sie, dass Sie, wenn Sie sich am Fuß eines Hügels schnell bewegen, den Hügel hinauffahren können, auf Kosten Ihrer Geschwindigkeit. Du wirst höher und höher gehen, aber auch langsamer und langsamer. Dasselbe gilt im Zusammenhang mit der Erde. Je weiter es aus dem Gravitationsschacht herausklettert, desto langsamer bewegt es sich. An einem bestimmten Punkt wird es so weit herausgeklettert sein, dass es sich tatsächlich zu langsam bewegt , um so weit außerhalb des Brunnens zu bleiben, wie es ist; es beginnt wieder einzufallen.

Wenn Sie auch die Seitwärtsbewegung der Erde berücksichtigen und davon ausgehen, dass die Bewegung der Erde an der Stelle, an der sie sich am langsamsten bewegt, genau senkrecht zur Sichtlinie zwischen Erde und Sonne verläuft, ist es nicht schwer, sich vorzustellen, dass dies der Punkt ist, an dem die Erde am niedrigsten ist Geschwindigkeit ist auf der genau gegenüberliegenden Seite der Sonne, wo sie ihre höchste Geschwindigkeit haben wird. Daher ist es nicht schwer vorstellbar, dass das Endergebnis von all dem eine elliptische Umlaufbahn sein wird, anstatt eine perfekt kreisförmige .

Dies bedeutet nun nicht, dass es nicht möglich ist, kreisförmige Umlaufbahnen zu haben. Hätte die Erde natürlich genau die Menge an Energie gehabt, die erforderlich wäre, um jederzeit in genau der gleichen Entfernung von der Sonne zu bleiben , wäre die Umlaufbahn kreisförmig gewesen. Aber das ist theoretisch schön, aber praktisch unmöglich zu realisieren, da selbst die kleinste Störung durch Jupiter oder Asymmetrie in der Sonne oder was auch immer dazu führen würde, dass die Umlaufbahn der Erde von einem Kreis abweicht. Praktisch gesehen ist eine Kreisbahn ein Grenzfall, dem man beliebig nahe kommen kann, aber nie ganz erreicht.

Ich denke, dieses Video wird helfen. Betrachten Sie die Bewegung der Kugeln im Kegel; Für diesen Fall gelten praktisch die gleichen Prinzipien.

Der Vollständigkeit halber: Es gibt viele Details, die ich hier weggelassen habe, die die genaue Form der Umlaufbahn beeinflussen – die „Hügel“-Analogie (oder Bowlingkugel-auf-einer-Gummifolie-Analogie, wie sie oft in Filmen oder Dokumentationen dargestellt wird ) ist eine ungenaue und unvollständige Darstellung der wahren Natur der Raumzeit. Auch die anderen Planeten, entfernte Galaxien, die Inhomogenität des Gravitationsfeldes der Sonne usw. verzerren die lokale Raumzeit der Erde. Aber all diese Effekte sind relativ klein und können getrost ignoriert werden, um die Elliptizität der Umlaufbahn zu verstehen.

Hinweis : Diese Antwort wurde für die Originalversion der Frage geschrieben, in der das OP nach sphärischen Umlaufbahnen (in denen sich die Ebene der Umlaufbahn aufgrund des Drehimpulsaustauschs ändern kann) und nicht nach kreisförmigen / exzentrischen (in denen die Ebene der Umlaufbahn bleibt zeitlich konstant). Diese Antwort ist für die aktuelle Frage nicht relevant, aber ich lasse sie trotzdem hier, falls sie jemals nützlich sein sollte.

Der technische Grund ist die Erhaltung des Drehimpulses ; Wenn sich die Erde aus ihrer Umlaufbahn bewegen würde, würde dies die Richtung (wenn auch nicht unbedingt die Größe) des Drehimpulsvektors ändern.

Eine weniger technische Art, darüber nachzudenken, ist das zweite Newtonsche Gesetz : Die Beschleunigung eines Objekts ist proportional zur Kraft auf dieses Objekt. Insbesondere sind die Beschleunigung und die Kraft in die gleiche Richtung.

Nehmen wir an, dass die Richtung, in die sich die Erde bewegt, "vorwärts" ist und die Sonne auf der "linken Seite" steht. Um sich dann auf einer sphärischen Umlaufbahn statt auf einer kreisförmigen oder elliptischen Umlaufbahn zu bewegen, müsste sich die Erde "nach oben" oder "nach unten" bewegen. Aber da wir gerade "vorwärts" als die Richtung definiert haben, in die sie sich gerade bewegt, bedeutet dies, dass die Erde beschleunigen müsste„oben“ oder „unten“. Und Newtons zweites Gesetz sagt uns, dass dies eine Kraft in Aufwärts- oder Abwärtsrichtung erfordern würde. Die Schwerkraft der Sonne gibt uns keine Kraft in diese Richtung; er zieht nur nach "links". Es ist möglich, dass die Sonne zu stark oder zu weich zieht, um die Erde im Kreis zu halten, sodass die Erde ein wenig nach links oder rechts gehen kann (und tatsächlich in einer Ellipse nach links und rechts geht), aber niemals auf oder ab. Die Erde gleitet also weiterhin in ihrer Bahnebene entlang und nicht auf einer allgemeineren Kugelbahn.

Vielleicht ist es am besten, die Raumkrümmung zu vergessen, wie sie in der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben wird; Während diese Theorie große Änderungen an den Grundlagen der Himmelsmechanik impliziert, ist sie so aufgebaut, dass sie die Newtonsche Mechanik reproduziert, wenn Gravitationsfelder von mäßiger Stärke sind, und führt nur zu sehr geringen Anpassungen der tatsächlichen Umlaufbahnberechnungen.

Die Bewegung eines Objekts in einem festen Gravitationsfeld (was eine realistische Annahme für die Bewegung eines Satelliten um einen viel massiveren Körper ist, dessen eigene Störung dann vernachlässigt werden kann) wird durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben: an jedem Punkt in seinem Umlaufbahn ist die Beschleunigung des Satelliten durch das Newtonsche Gesetz durch das Gravitationsfeld an diesem Punkt gegeben. Der Einfachheit halber Sonne und Planet genannt, wird die Umlaufbahn des Planeten dann durch seine Position und Geschwindigkeit zu einer (willkürlichen) Startzeit bestimmt. Es ist leicht zu erkennen, dass die Bewegung in der Ebene bleibt, die durch die Sonne und die anfängliche Planetenposition bestimmt ist und ihren anfänglichen Geschwindigkeitsvektor enthält. Somit ist jeder Zustand im Wesentlichen durch zwei Ortskoordinaten und zwei Geschwindigkeitskoordinaten gegeben. Die Rotationssymmetrie erlaubt es uns, einen Freiheitsgrad zu vergessen und die Anfangsbedingungen durch die radiale Position (Anfangsabstand des Planeten von der Sonne) und die tangentialen und radialen Komponenten der Geschwindigkeit zu beschreiben. Anstelle der tangentialen Geschwindigkeitskomponente kann man auch die momentane Winkelgeschwindigkeit angeben, die man daraus durch Division durch den Radius erhält.

Da eine kreisförmige Umlaufbahn dadurch gekennzeichnet ist, dass die radiale Komponente der Geschwindigkeit immer Null ist, ist das Fehlen einer radialen Komponente der Anfangsgeschwindigkeit eine notwendige Bedingung, um eine kreisförmige Umlaufbahn zu erhalten. Damit ist bereits die Frage beantwortet, warum Bahnen nicht immer kreisförmig sind. Die Bedingung reicht jedoch nicht aus: Auf einer Kreisbahn muss die Winkelgeschwindigkeit in einem genauen Verhältnis zum Radius stehen, damit die nur vom Radius abhängige Erdbeschleunigung mit der Zentripetalbeschleunigung für eine Kreisbahn übereinstimmt, was auch von der Winkelgeschwindigkeit abhängt. Dies erklärt, warum Satelliten knapp über der Erdatmosphäre (die aus praktischen Gründen kreisförmige Bahnen erhalten müssen) alle die gleiche Rotationsdauer haben (etwa 1,5 Stunden). Dies erklärt auch, warum nicht kreisförmige Bahnen,

Wenn die Winkelgeschwindigkeit zu hoch ist, "dreht" sich der Planet heraus und sein Radius beginnt zuzunehmen (möglicherweise geht er ins Unendliche, wenn die Geschwindigkeit an diesem Punkt die Fluchtgeschwindigkeit überschreitet, obwohl man in diesem Fall nicht von einem Planeten sprechen würde). Wenn es zu niedrig ist, "fällt" es aus einer kreisförmigen Flugbahn heraus und beginnt zu fallen. Im letzteren Fall wird seine Winkelgeschwindigkeit zunehmen (da sein Produkt mit dem Quadrat des Radius konstant sein muss, da der konstante Drehimpuls proportional dazu ist), was im rotierenden Rahmen eine zunehmende Zentrifugalkraft ergibt, die irgendwann die Gravitationskraft überholt ( obwohl letztere ebenfalls zunimmt), an welchem ​​Punkt die negative Radialgeschwindigkeit maximal ist und beginnt abzunehmen. Wenn die Radialgeschwindigkeit wieder Null wird, hat der Planet seinen sonnennächsten Punkt erreicht. Aber die Winkelgeschwindigkeit ist jetzt zu groß für eine Kreisbahn, selbst bei dem kleineren erreichten Radius; der Planet befindet sich jetzt in einer oben beschriebenen "Spin-out"-Situation. Die Ereignisse wiederholen sich dann in umgekehrter Reihenfolge, bis wieder ein Punkt mit maximalem Radius erreicht wird. Was bemerkenswert ist und nur durch eine detaillierte Berechnung erklärt werden kann (die ich nicht geben werde; ich bin mir nicht sicher, ob ich das überhaupt könnte), ist, dass dieser Punkt der istgleichen Raumpunkt wie der Startpunkt: Die Kurve schließt sich und die Planetenbahn entpuppt sich als Ellipse.

Bei Systemen mit Zentralkräften kann die Umlaufbahn ein beliebiger Kegelschnitt sein. Und welcher Kegelschnitt es sein wird, wird durch die Gesamtenergie der Objekte bestimmt, die sich um das Kraftzentrum drehen. Wenn die Gesamtenergie negativ ist (wie im Fall von Planeten), ist die Exzentrizität der Umlaufbahn entweder Null oder Eins. Wenn die Exzentrizität gleich Null ist, ist es ein Kreis, und wenn sie kleiner als eins ist, ist es eine Ellipse. Und für unser Planetensystem ist die berechnete Exzentrizität kleiner als eins.

Kometen kommen aus fast unendlicher Entfernung auf die Sonne zu. Aufgrund der Gravitationskraft der Sonne sollten sie in die Sonne gezogen werden, anstatt eine elliptische oder hyperbolische Flugbahn zu bilden.

Wenn das Objekt die Reise aus geringerer Entfernung mit beträchtlicher Geschwindigkeit beginnt, können wir die Bildung einer elliptischen Umlaufbahn visualisieren. Denn ein Objekt, das aus unendlicher Entfernung kommt und von der Schwerkraft der Sonne angezogen wird, sollte am Ende in die Sonne fallen