20 dB/Dekade vs. 6 dB pro Oktave – Schleifenstabilität

Diese Anforderung ist Teil des (vereinfachten) Nyquist-Kriteriums für Stabilität. Sie ergibt sich daraus, dass die Steigung der Betragsfunktion mit einer entsprechenden Phasenverschiebung zusammenhängt (Bode-Beziehung). Diese Regel gilt für alle Übertragungsfunktionen, die "minimalphasige" Eigenschaften haben (keine Verzögerung innerhalb des Rückkopplungskreises, keine Nullstellen in der rechten Hälfte der s-Ebene).

Dieses Kriterium besagt, dass eine Amplitudensteigung von -20 dB/dez eine Phasenverschiebung von -90 Grad verursacht und eine Steigung von -40 dB/dez mit einer Phasenverschiebung von -180 Grad in Beziehung steht.

Da eine Gegenkopplungsschleife bereits eine Phaseninversion (-180 Grad) enthält, könnte eine zusätzliche Phasenverschiebung von -180 Grad (entspricht -40 dB/dec) die Schaltung an die Stabilitätsgrenze bringen (Schleifenverstärkung mit 360 Grad Phasenverschiebung).

Aus diesem Grund verlangen wir, dass bei einer solchen Frequenz (mit 360 Grad = 0 Grad Phasenverschiebung) die Schleifenverstärkung unter Eins (0 dB) liegen muss. Alternativ verlangen wir, dass beim 0dB-Durchgang die Phase noch nicht den kritischen Wert von 360deg erreicht haben darf.

Das heißt: Wenn die Magnitudensteigung im Nulldurchgang zB -35dB/dec betragen würde. der Regelkreis wäre stabil - allerdings mit einem eher kleinen Sicherheitsspielraum (Phasenspielraum).

Für eine Flankensteilheit von -20 dB/dec haben wir einen ausreichenden Spielraum von ca. 60 Grad. Aus diesem Grund sollte ein guter Verstärker mit Rückkopplung eine Schleifenverstärkung in einer Größenordnung haben, die die 0-dB-Linie mit einer Steigung von ca. (-30----20) dB/dec kreuzt

Kommentar : Manchmal sind die Leute verwirrt, weil in einigen Veröffentlichungen die Schleifenverstärkungsphase die Phaseninversion (-180 Grad) am Summierpunkt enthält und in einigen anderen Veröffentlichungen die Schleifenverstärkung dieses negative Vorzeichen NICHT enthält. Das ist der Grund für die zwei unterschiedlichen Formulierungen der Stabilitätsgrenze: Schleifenverstärkungsphase von -180 Grad oder -360 Grad.

Meiner Meinung nach sollte das negative Vorzeichen immer enthalten sein, da es ein Teil der Schleife ist. Darüber hinaus gibt es Rückkopplungsschleifen, bei denen sich das negative Vorzeichen (für negative Rückkopplung) NICHT am Summierpunkt befindet, sondern an einer anderen Stelle innerhalb der Schleife. Daher schlage ich vor, dass die Definition der Schleifenverstärkung immer das Minuszeichen enthalten sollte - und die Stabilitätsgrenze auf dem 360-Grad-Kriterium basiert.

Abschließend sei in diesem Zusammenhang noch erwähnt, dass Loop-Gain-Simulationen natürlich den kompletten Loop (inkl. negativem Vorzeichen) enthalten.

Die Antworten bezüglich der Notwendigkeit, mit 20 dB/Dekade oder einer -1-Flanke zu weichen, sind sehr gut und erklären, dass es darauf ankommt, die Phasenverzögerungsbelastung zu reduzieren, wenn man sich der Frequenzweiche nähert. Ich sehe jedoch, dass es oft Fragen zur Stabilitätsgrenze gibt: Ist es -180°, -360° oder 0°?

Entscheidend ist, wie die Schleifenverstärkung gemessen wird und was sie beinhaltet. Wenn Sie sich das folgende Bild ansehen, das aus meinem APEC 2010- Seminar entnommen wurde, sehen Sie, dass, wenn die Schleifenverstärkung gemessen wird, während die vom Operationsverstärker verursachte Inversion (die eine Verzögerung von 180 ° ist) ausgeschlossen wird, die Grenze für die Stabilitätsanalyse liegt -180°, denn wenn Sie die Inversionsverzögerung hinzufügen, geben Sie die Stimulusinformationen in Phase zurück und anhaltende Oszillationen werden am Crossover sichergestellt, wo die Schleifenverstärkung 1 ist:

Wenn Sie sich jetzt entscheiden, die Umkehrstufe (den Kompensator) einzubeziehen, beträgt die zu berücksichtigende Gesamtphasenverzögerung -360 ° oder 0 °, was ähnlich ist:

Und das haben Sie bei der Verwendung eines Frequenzganganalysators oder FRA im Labor oder bei einer Simulation beispielsweise mit SPICE oder SIMPLIS: Sie lesen den Phasenabstand von der 0°-Basislinie ab. Dies liegt daran, dass Sie die Schleife unterbrechen und die ac-Störung in Reihe einfügen, während der Arbeitspunkt intakt bleibt.

Schließlich bleibt, wie das folgende Diagramm zeigt, der Phasenabstand unabhängig davon, ob Sie das invertierende Vorzeichen einbeziehen oder nicht, in allen Fällen gleich:

Ich hoffe, dies hilft, dieses Konzept für Anfänger zu verdeutlichen.

Zunächst einmal stellen -20dB/Dekade und -6dB/Oktave genau die gleiche Flanke dar. Sie sind effektiv dasselbe.

Damit das System stabil ist, wenn die Schleife geschlossen ist, sollte die Phasenverzögerung der offenen Schleife deutlich kleiner als –180 Grad sein, wenn die Schleifenverstärkung 1 (Einheit) ist.

Eine Open-Loop-Verstärkungssteigung von –20 dB/Dekade existiert gleichzeitig mit einer Open-Loop-Phasenverzögerung von –90 Grad. Eine Verzögerung von -90 Grad bei Einheitsschleifenverstärkung ist deutlich geringer als -180 Grad und stellt somit ein sehr stabiles System dar.

Eine Open-Loop-Verstärkungssteigung von –40 dB/Dekade existiert gleichzeitig mit einer Open-Loop-Phasenverzögerung von –180 Grad. Eine Verzögerung von -180 Grad bei Einheitsschleifenverstärkung repräsentiert ein instabiles System.

Damit das System stabil ist, kann die Steigung bei der Einheitsschleifenverstärkung gleich oder größer als -20 dB / Dekade sein, sollte jedoch nicht zu nahe an -40 dB / Dekade herankommen, da sich sonst die Phasenverzögerung der Schleife -180 Grad nähert und die System schwingt.

Die Differenz zwischen der Schleifenphase und –180 Grad bei Eins-Schleifenverstärkung wird als Phasenreserve bezeichnet und ihr Wert steht in direktem Zusammenhang mit der Steigung der Schleifenverstärkungsantwort.

Jeder Tiefpassfilter erster Ordnung oberhalb der Grenzfrequenz dämpft den Ausgang (in Bezug auf den Eingang) um 20 dB/Dekade. In reellen Zahlen bedeutet dies, dass sich die Ausgangsspannung um das Zehnfache verringert, wenn Sie die Frequenz um das Zehnfache erhöhen. Wenn Sie das Log-Zeug in Dezibel umwandeln, sind das 20 dB / Dekade.

Es ist eine einfache mathematische Übung, um zu sehen, dass die Ausgangsamplitude abfällt$x$wenn die Eingangssignalfrequenz um ansteigt$x$.

Und natürlich, wenn sich die Frequenz verdoppelt (um eine Oktave erhöht), dann halbiert sich die Amplitude. Machen Sie das Log-Zeug noch einmal und das funktioniert bei 20 Log (0,5) = -6,02 dB (ungefähr). Mit anderen Worten, es ist dasselbe, dh 20 dB/Dekade = (ungefähr) 6 dB/Oktave.

Ein Filter/System erster Ordnung kann den Phasenwinkel über das gesamte Spektrum nicht um mehr als 90° ändern. Wenn also ein Ende des Spektrums vollkommen stabil ist, sollte das auch das andere Ende sein, aber es könnte 90° näher am Punkt sein der Instabilität (eine Phasenverschiebung von 180°).