Ableitung des Ohmschen Gesetzes

Question

Ableitung des Ohmschen Gesetzes

hwlin

Ist es möglich, das Ohmsche Gesetz (vielleicht in einer geeigneten Grenze) aus den Maxwell-Gleichungen abzuleiten?

QMechaniker

Für eine einfache Theorie hinter dem Ohmschen Gesetz siehe zB das Drude-Modell bei Wikipedia oder diesen Phys.SE-Beitrag.

Antworten (5)

Ableitung des Ohmschen Gesetzes

Für eine einfache Theorie hinter dem Ohmschen Gesetz siehe zB das Drude-Modell bei Wikipedia oder diesen Phys.SE-Beitrag.

Thomas · Answer 1

Ohm'sches Gesetz $\vec\jmath=\sigma\vec{E}$ kann im Grenzbereich kleiner elektrischer Felder unter Verwendung der Linear-Response-Theorie rigoros abgeleitet werden. Dies führt zu Kubos Formel für die elektrische Leitfähigkeit, die sich bezieht $\sigma$ auf die Nullfrequenzgrenze der verzögerten Strom-Strom-Korrelationsfunktion.

σ^{a β} (q) = lim_{ω \to 0} \frac{1}{- ich ω} {\frac{n e^{2}}{m} δ^{a β} - ich ⟨ [j^{a} (ω, q), j^{β} (- ω, - q)] ⟩}

$\sigma^{\alpha\beta}(q)=\lim_{\omega\to0}\frac{1}{-i\omega}\left\{\frac{ne^2}{m}\delta^{\alpha\beta} - i\langle[j^\alpha(\omega,q),j^\beta(-\omega,-q)]\rangle \right\}$

(Diese Ableitung beinhaltet natürlich mehr als nur die Maxwell-Gleichung. Diese wird im Zusammenhang mit der Nichtgleichgewichtsfeldtheorie richtig abgeleitet.) Das Drude-Modell ist ein Modell für die Spektralfunktion der Strom-Strom-Korrelationsfunktion in Bezug auf a einzelne ``Kollisionszeit''. Dieses Modell kann innerhalb der kinetischen Theorie abgeleitet werden, die anwendbar ist, wenn Wechselwirkungen schwach sind, und die Korrelationsfunktion in Form von Quasiteilchen berechnet werden kann.

Aber man muss bedenken, dass diese Theorie der linearen Antwort Linearität voraussetzt, was ein grundlegendes Merkmal des Ohmschen Gesetzes ist. Kubos Ansatz ist also eine unvollständige Ableitung.
@JasonArthurTaylor Offensichtlich ist die Reaktion bei großem Feld nicht linear. Wir sprechen hier von kleinen Feldern. Wenn die lineare Reaktion in diesem Regime zusammenbrechen würde, würden Sie dies an den IR-Divergenzen in den Strom-Strom-Korrelationsfunktionen erkennen. Mir ist kein "echtes" System bekannt, bei dem dies im thermodynamischen Grenzbereich passiert. (Die üblichen Ausnahmen für die lineare Reaktion sind seltsame Systeme, wie das Navier-Stokes-Gesetz in Con-Stärke oder das Ohmsche Gesetz in ballistischen Kanälen.)
Ja, aber was ist "groß"? Ich glaube nicht, dass Kubo versucht hat, abzuschätzen, wie hoch der nächste Bestelltermin/Beitrag bei hohen Feldern ist. Wenn dies zutrifft, wird das Regime der Linearität, ein Schlüsselelement des Ohmschen Gesetzes, dort nicht geliefert. (Das heißt, es ist linear, aber keine Ahnung wo.) Übrigens kann ich mir zum Beispiel einen Sandhaufen vorstellen, der mit diesem Ansatz möglicherweise schwierig zu modellieren ist. Wenn Sie so nett wären und einen Moment Zeit hätten, könnten Sie einen kurzen Blick auf Seite 2 der Referenz werfen, die ich in meiner Antwort zitiert habe, und sie kommentieren? Denken Sie, dass der Hamiltonian falsch modelliert wurde?

Jason Arthur Taylor · Answer 2

Nein, nicht so, wie Sie wahrscheinlich denken. Mit den Maxwellschen Gleichungen kann man viel anfangen, aber man muss sie verlassen, um das Ohmsche Gesetz herzuleiten. Es gibt eine triviale Beziehung, die von Punkten zu makroskopischen Objekten führt (z. B. Multiplikation mit Längen und Querschnittsflächen), aber dies gibt nur verschiedene Formen dessen, was immer noch als Ohmsches Gesetz bezeichnet wird.

Wie ich in einem Kommentar zu Thomas 'derzeit akzeptierter Antwort ausgeführt habe, denke ich, dass Kubos Lösung implizit eine lineare Beziehung zwischen Strom und Feld annimmt ( dh nicht von Grund auf neu ableitet). Es geht bereits weit über Maxwells Gesetze hinaus.

Eine vollständige Antwort erfordert sogar darüber hinauszugehen. Siehe zB Riess (2004 ) . Deshalb sage ich, nein ist die richtige Antwort auf Ihre eigentliche Frage.

Wichtig ist, dass ich nicht glaube, dass Kubos ursprüngliches Papier zu diesem Versuch versucht, tatsächliche Werte von zu berechnen $\sigma.$ Kein Aspekt des Ohmschen Gesetzes wurde also wirklich von Kubo abgeleitet. Vielmehr erlaubt Kubos Formalismus die Berechnung von $\sigma$ unter der Annahme, dass eine lineare Beziehung bestehen sollte.

Aus diesen Gründen möchte ich Thomas' Verwendung des Ausdrucks „rigoros abgeleitet“ bei der Beschreibung von Kubos Beitrag wie beschrieben widersprechen. Dies ist auch teilweise der Grund, warum ich denke, dass es sich lohnt, meine eigene Antwort einzureichen. (Mich stört die Verwendung des Ausdrucks in diesem Zusammenhang etwas, besonders wenn ich auch sage, dass das problematische Drude-Modell es auch gibt, als wäre es eine triviale Gleichung, die abzuleiten ist, oder so.)

tpg2114 · Answer 3

tpg2114

Nein, es ist eine Annäherung und nicht aus ersten Prinzipien abgeleitet. Sie basiert auf empirischen Beobachtungen.

Nikolaj-K

Sprechen Sie über das Ohmsche Gesetz der Maxwell-Gleichungen? :D

Jason Arthur Taylor

Sie sagen "ist ... nicht abgeleitet", Präsens. Aber meiner Meinung nach kann man es tatsächlich berechnen. Hier ist ein Papier, in dem die Leitfähigkeit oder der spezifische Widerstand für Aluminium numerisch berechnet wurde: arxiv.org/abs/1310.4013 .

hft · Answer 4

Ich habe diese Antwort hinzugefügt, weil einige Kommentare zu dieser und anderen ähnlichen Fragen (als Duplikat markiert) zusätzliche Details zur quantenmechanischen Ableitung des Ohmschen Gesetzes angefordert haben.

Die hier gegebene Ableitung ist für Einzelteilchen-QM geeignet und versucht, das Ohmsche Gesetz in der Form abzuleiten:

j_{ich} = σ_{ich j} E_{j},

$j_i = \sigma_{ij}E_j\;,$ wo

j_{i}

$j_i$ ist die i-te Komponente des Stroms (Dichte) und E_j ist die j-te Komponente des elektrischen Felds und

σ_{i j}

$\sigma_{ij}$ ist die Leitfähigkeit (Tensor).

Per Definition haben wir den Stromoperator:

\hat{j_{ich}} = q {\hat{v}}_{ich} = \frac{q}{m} {\hat{p}}_{ich},

$\hat {j_i} = q \hat v_i = \frac{q}{m}\hat p_i\;,$ wo

\hat{p}

$\hat p$ ist der Impulsoperator, q ist die Ladung, m ist die Masse und der Strom (nicht der Stromoperator) ist:

j_{ich} (t) = ⟨ Ψ (t) | \hat{j_{ich}} | Ψ (t) ⟩,

$j_i(t) = \langle\Psi(t)|\hat{j_i}|\Psi(t)\rangle\;,$ wo

Ψ

$\Psi$ ist der QM-Zustand.

Wir lösen nun nach dem Zustand im Wechselwirkungsbild auf (im Gegensatz zum Heisenberg-Bild oder Schrödinger-Bild). Der Hamiltonian wird zerlegt als $H=H_0+V(t)$ wo $V$ ist die Wechselwirkung Hamiltonian und $H_0$ ist der ungestörte Hamiltonoperator, dessen Grundzustand wir nennen $|0\rangle$ . Dann ist der Zustand des Interaktionsbildes in erster Ordnung in der Interaktion:

| Ψ^{ich} (t) ⟩ = | 0 ⟩ - ich \int^{t} d t^{'} v^{ich} (t^{'}) | 0 ⟩,

$|\Psi^I(t)\rangle = |0\rangle - i\int^t dt' V^I(t')|0\rangle\;,$ wo

v^{ich} (t) = e^{ich H_{0} t} v (t) e^{- ich H_{0} t} .

$V^I(t) = e^{iH_0t}V(t)e^{-iH_0t}\;.$

Spezialisieren wir uns nun auf eine Wechselwirkung, die im räumlich konstanten Feld linear ist $\vec E$ :

v = - q f (t) \vec{E} \cdot \vec{r} .

$V = -qf(t)\vec E\cdot \vec r\;.$ Nb, merken Sie sich das

- \nabla ϕ = E

$-\nabla\phi = E$ . Der zeitabhängige Teil

f (t)

$f(t)$ kann sowas sein

\sin (ω_{0} t)

$\sin(\omega_0 t)$ oder was auch immer für eine andere reine Zeitabhängigkeit wir mögen.

Wenn wir also genügend Terme in der Erweiterung des Zustands behalten, um nach j in erster Ordnung in E aufzulösen, haben wir:

j_{ich} = (⟨ 0 | - ich q E_{j} \int^{t} d t^{'} f (t^{'}) ⟨ 0 | {\hat{r}}_{j}^{ich} (t^{'})) \frac{q}{m} {\hat{p}}_{ich} (| 0 ⟩ + ich q E_{j} \int^{t} d t^{'} f (t^{'}) {\hat{r}}_{j}^{ich} (t^{'}) | 0 ⟩)

$j_i =\left(\langle0|-iqE_j\int^t dt'f(t')\langle 0| \hat r^I_j(t')\right) \frac{q}{m}\hat p_i \left(|0\rangle+iqE_j\int^t dt'f(t')\hat r^I_j(t')|0\rangle\right)$ Oder:

j_{ich} = σ_{ich j} E_{j},

$j_i = \sigma_{ij}E_j\;,$ wo

σ_{ich j} = \frac{- ich q^{2}}{m} \int^{t} d t^{'} f (t^{'}) ⟨ 0 | [r_{j}^{ich} (t^{'}), p_{ich}] | 0 ⟩ .

$\sigma_{ij} = \frac{-iq^2}{m}\int^t dt'f(t')\langle0|[r^I_j(t'),p_i]|0\rangle\;.$

Diese spezifische Beziehung zwischen j und E basiert ebenfalls auf der Annahme, dass es im ungestörten Grundzustand keinen Strom gibt $|0\rangle$ .

javierhersan · Answer 5

Zunächst haben wir aus den konstitutiven Beziehungen folgende Gleichung:

\vec{J} = σ (\vec{r}, t) * \vec{E}

$\vec{J}=\sigma(\vec{r},t)*\vec{E}$

Darüber hinaus nehmen wir an, dass Sigma im gesamten Medium konstant ist und nicht vorübergehend streut. Daher ist der Faltungsoperator äquivalent zur Multiplikation.

\vec{J} = σ \cdot \vec{E}

$\vec{J}=\sigma\cdot\vec{E}$

Wir wissen auch, dass das elektrostatische Potential (nur wenn $\epsilon$ ist im gesamten Medium konstant):

\vec{E} = - \nabla ϕ

$\vec{E}=-\nabla\phi$

Wir können also das elektrische Feld als Funktion der Potentialdifferenz oder allgemein als Spannung bezeichnet schreiben:

W = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot \vec{d l} = \int_{1}^{2} q \vec{E} \cdot \vec{d l} = q \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot \vec{d l} = - q \int_{1}^{2} \nabla ϕ \cdot \vec{d l} = - q \int_{1}^{2} d ϕ = q \cdot (ϕ_{1} - ϕ_{2})

$W = \int ^2_{1}\vec{F}\cdot\vec{dl}= \int ^2_{1}q\vec{E}\cdot\vec{dl} = q\int ^2_{1}\vec{E}\cdot\vec{dl}=-q\int ^2_{1}\nabla\phi\cdot\vec{dl}=-q\int ^2_{1}d\phi=q\cdot(\phi_1 - \phi_2)$

v = (ϕ_{1} - ϕ_{2}) = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot \vec{d l} ==> v = E \cdot l

$V=(\phi_1 - \phi_2)=\int ^2_{1}\vec{E}\cdot\vec{dl} ==> V=E \cdot l$

Die vorherige Beziehung ( $V=E \cdot l$ ) gilt nur, wenn das elektrische Feld entlang der l - Kurve konstant ist. Daher werden wir diejenige Näherung anwenden, die in Materialien mit geringen Verlusten erfüllt ist, nämlich die Permittivität $\epsilon$ ist nicht vorübergehend dispersiv und im gesamten Medium konstant $\epsilon(\vec{r},t)\cong\epsilon$ .

Schließlich können wir das Omh-Gesetz wie folgt ableiten:

\int \vec{J} \cdot \vec{d S} = \int σ \cdot \vec{E} \cdot \vec{d S} ==> ich = \int σ \cdot \frac{v}{l} \cdot d S = σ \cdot \frac{v}{l} \cdot S

$\int\vec{J}\cdot\vec{dS} = \int\sigma\cdot\vec{E}\cdot\vec{dS} ==> I = \int\sigma\cdot\frac{V}{l}\cdot dS = \sigma \cdot \frac{V}{l}\cdot S$

v = ich \cdot R

$V=I\cdot R$

R = \frac{1}{σ} \cdot \frac{l}{S}

$R= \frac{1}{\sigma} \cdot \frac{l}{S}$

R e s ich s t ich v ich t j = ρ = \frac{1}{σ}

$Resistivity=\rho= \frac{1}{\sigma}$

Zur Erinnerung: Die mittlere Permittivität $\epsilon$ muss konstant sein und darf nicht vorübergehend streuen. Diese Bedingung ist bei den allermeisten Leitermaterialien erfüllt.

Wie beweisen wir, dass E = V/L = del(V)/del(L) (konstant) über die gesamte Länge von R ?
@SilverMoon Wenn die Länge des Widerstands im Vergleich zur Wellenlänge des elektrischen Felds klein genug ist, können wir den Ausbreitungseffekt ignorieren. Denken Sie daran, dass die Lösung der Wellengleichung E(t)=|E|⋅cos(w⋅t+(2pi/lambda)⋅R) ist. Sie können es ganz einfach überprüfen.
@SilverMoon Und auch das Medium kann nicht vorübergehend dispersiv sein, denn wenn dies der Fall ist, ändert sich das elektrische Feld.

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