Ich werde den Fall ausführen, in dem das Material homogen und isotrop ist.$\rho = \sigma^{-1}$ist eine Konstante proportional zur Identitätsmatrix. Wir interessieren uns für den stationären Zustand, in dem keine unserer Variablen von der Zeit abhängt.

Wir haben$\nabla \times E = 0$aus dem Faradayschen Gesetz und$\nabla\cdot J = 0$aus der Kontinuitätsgleichung, wo$J$ist die Stromdichte. Das sagt uns das Ohmsche Gesetz$J=\sigma E$. Wenn wir die Divergenz des Ohmschen Gesetzes nehmen, erhalten wir$\nabla \cdot E = 0$. Daher im stationären Zustand$E$muss eine divergenzfreie, kräuselfreie Funktion sein.

Das bedeutet, dass das Potenzial$\phi$($\nabla\phi =E$) gehorcht der Laplace-Gleichung,

$\nabla^2 \phi = 0$.

Um dies zu lösen, benötigen wir die entsprechenden Randbedingungen, die wie folgt lauten. An der Grenze, wo Ihr Widerstand mit einer Leitung das Potential verbindet$\phi$muss den gleichen Wert haben wie das Potential auf der Leitung. An der Grenze Ihres Widerstands, der nicht mit einer Leitung verbunden ist, kann kein Strom abfließen, daher ist die entsprechende Bedingung$\nabla\phi\cdot n = 0$, Wo$n$ist die Oberflächennormale. Dies reicht aus, um eine einzige Lösung der Laplace-Gleichung zu bestimmen.

Die Laplace-Gleichung ist eine sehr schöne und freundliche Gleichung, und es ist viel Material zu numerischen und analytischen Lösungen verfügbar, obwohl die gemischten Randbedingungen ärgerlich sein werden.

Sobald Sie Ihre Lösung für die Laplace-Gleichung haben, benötigen Sie den Gesamtstrom. Wählen Sie dazu eine beliebige Querschnittsfläche aus$S$Ihres Widerstands und mit$J = \sigma E = \sigma\nabla\phi$, erhalten wir den Gesamtstrom I ist gleich

$I = \sigma\int dS\cdot\nabla\phi$.

Dann können Sie verwenden$R = V/I$einen wirksamen Widerstand zu bekommen. Der Fall mit einem nicht homogenen oder nicht isotropen Material ist ähnlich, Sie erhalten nur eine andere Gleichung als die Laplace-Gleichung, deren Lösung möglicherweise etwas mühsamer ist.

Ich kann mir jedoch nicht vorstellen, dass ein auf Teig basierendes System dieses Maß an Präzision benötigt :). Für alles, was auf Teig basiert, wird wahrscheinlich nur angenommen, dass es sich um einen Zylinder handelt, und verwendet$R = \rho L /A$wird dich nah genug bringen, nein? Ich habe immer gedacht, dass die Teigphysik wirklich eine Art Spiel der Größenordnung ist, wie die Astronomie.

Stellen wir uns zur Vereinfachung ein prismatisches Volumen vor, als ob eine ebene Figur (in$xy$Ebene, Bereich$A$) wurde eingepresst$z$Richtung. Nehmen wir an, dass die Leitfähigkeit ($\sigma$) ist abhängig von$x$Und$y$, aber nicht an$z$. Und lass$L$sei die Prismenlänge in$z$Richtung. Wir wollen den Gesamtwiderstand zwischen beiden berechnen ($xy$) parallele Flächen.

Nehmen wir ein kleines Prisma mit Basen an den Basen des Hauptprismas (also hat das kleine Prisma die gleiche Länge$L$als Haupt, aber seine Basis ist von kleiner Fläche${\rm d}A$), sein Widerstand kann nicht aufgerufen werden${\rm d}R$(es ist kein Infinitesimal), stattdessen tendiert es zur Unendlichkeit ($R_{{\rm d} A} = \rho \frac{L}{{\rm d} A} \rightarrow \infty$). Also schlage ich vor, die inverse Größe, den Leitwert, zu betrachten,$G$.

Wenn der Körper homogen wäre, wäre der Gesamtwiderstand$R = \rho L/A$, so wäre der Gesamtleitwert$G = \sigma A/L$. Du weisst$\rho$Und$\sigma$sind nur inverse Größen. Für das kleine Prisma ist der Leitwert also:

Sobald wir dieses Integral haben, können wir einfach die Umkehrung nehmen, um den Gesamtwiderstand zu berechnen:

Das obige Verfahren ist natürlich nur unter der Annahme eines einheitlichen elektrischen Feldes zwischen parallelen ($xy$) Gesichter (d. h.$\vec E$hat die$z$Richtung). Ansonsten die "härtere" orthodoxe Methode (vorherige Antwort: Computing$\phi$, dann elektrisches Feld ($\vec E = -\nabla \phi$), dann Stromdichte (aus dem Ohmschen Gesetz:$\vec J = \sigma \vec E$) und schließlich Stromstärke ($I = \int J_z {\rm d} A$)) notwendig wäre.

Ein solches Integral gibt es nicht, da der Widerstand eine Eigenschaft ganzer Schaltungen ist, die isoliert nur näherungsweise definiert werden kann. Am nächsten bin ich einem Integralausdruck gekommen, ist Gl. 63 in https://www.academia.edu/1841457/The_Notion_of_Electrical_Resistance