Analyse des Operationsverstärkers mit negativem Eingangswiderstand

Die Schaltung ist nicht korrekt: Sie können an diesem Knoten keine Spannung anlegen.

Stattdessen sollten Sie einen Strom anlegen, sagen wir Iin, und dann die Spannung des invertierenden Eingangs messen, und danach können Sie Zin als Vinv/Iin berechnen (Vinv = invertierende Eingangsspannung). Iin ist der Eingangsstrom mit passivem Konventionszeichen (positiv, wenn er nach rechts geht).

Wenn Sie sich Ihr Papier ansehen, sagt die zweite Gleichung genau das (mit unterschiedlichen Notationen). Die erste Gleichung besagt, dass Iin ist

$$Iin=\frac{Vinv-Vout}{R1}.$$ Dann geht das Papier davon aus, dass eine negative Rückkopplung funktioniert, daher ist die Spannung des invertierenden Eingangs gleich der Spannung des nicht invertierenden Eingangs. Infolgedessen ist Vinv (das mit Vninv identisch ist) die klassische Impedanzteilerformel (das Papier geht von einem Eingangsstrom von Null am OA aus).

Als Ergebnis (Gleichung 5):

$$Vinv=Vninv=Vout\frac{K \cdot R2}{R2 + \frac{1}{j\omega C}}.$$ Wobei K der Bruchteil von R2 ist, ausgewählt durch den Potentiometerschleifer.

Durch Ersetzen von Vinv in Iin und Berechnen der Eingangsimpedanz (Vinv/Iin) sollte man genau Gleichung 6 auf Ihrem Papier erhalten.

EDIT: Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist! Auch nach einigen möglichen Annäherungen. Ein ähnliches Ergebnis wie Gl. 6 (dh negativer Widerstand + negative Kapazität) wird durch Vertauschen des invertierenden Eingangs mit dem nichtinvertierenden Eingang erreicht.

EDIT2: Nach etwas Algebra erhalten Sie so etwas wie:

$$Zin = \frac {R1 \cdot K} {(k-1)^2+\frac{1}{(\omega CR2)^2}}(k-1+\frac{1}{j\omega C \cdot R2})$$

Unter den Annahmen (allerdings nicht in der Arbeit angegeben) von k<<1 und einer "hoch genug" Frequenz wird der erste Nenner 1 und der Term in der Klammer wird 1

$$-1+\frac{1}{j\omega C \cdot R2}$$ .

Dann bekommst du Gl. 6.

Um die Übertragungsfunktion dieser Schaltung zu bestimmen, werde ich die hier beschriebenen Fast Analytical Circuits Techniques oder FACTs anwenden . Das Prinzip hinter den FACTs besteht darin, die Zeitkonstanten der Schaltungen in zwei verschiedenen Konfigurationen zu bestimmen: Der Stimulus wird auf 0 (0 A oder 0 V) ​​reduziert und die Antwort wird genullt. Das Zusammensetzen dieser Zeitkonstanten führt Sie dann zu der richtigen Niedrigentropie- Übertragungsfunktion. Niedrige Entropie bedeutet, dass Sie sehen können, was das Plateau (oder DC oder unendliche Werte) ist und wo die Pole Nullen sind.

Beginnen wir mit der Übertragungsfunktion, die die Antwort verknüpft$V_{out}$zum Reiz$V_{in}$. Die Schaltung ist unten gezeigt und ich habe das Potentiometer absichtlich durch zwei Widerstände ersetzt.

Bei meinen Berechnungen berücksichtige ich immer zuerst eine endliche Open-Loop-Verstärkung des Operationsverstärkers$A_{OL}$die ich später für den endgültigen Ausdruck als unendlich betrachte. Dadurch kann ich verschiedene Verstärkungskonfigurationen simulieren und testen und sicherstellen, dass meine Formeln genau mit den DC-Simulationsergebnissen übereinstimmen. Aus der obigen Skizze ist die DC-Verstärkung unmittelbar und gleich:$H_0=-A_{OL}$. Der nächste Schritt besteht darin, den Widerstand zu bestimmen, der von den Anschlüssen des Kondensators "gesehen" wird, wenn die Erregung auf 0 V reduziert wird: ersetzen$V_{in}$durch einen Kurzschluss. Das Schema ist unten:

Wenn Sie mit KVL und KCL rechnen, sollten Sie eine Zeitkonstante finden, die gleich ist$\tau_1=C_1(R_{2a}(1-A_{OL})+R_{2b})\approx -A_{OL}C_1R_{2a}$. Bestimmen Sie nun den Gewinn$H^1$Wenn$C_1$wird durch einen Kurzschluss ersetzt. Dies ist die neue Schaltung unten:

Die Verstärkung in dieser Konfiguration ist gleich:$H^1=-\frac{A_{OL}(R_{2b}+R_{2a})}{R_{2a}+R_{2b}-R_{2a}A_{OL}}\approx \frac{R_{2a}+R_{2b}}{R_{2a}}$. Die Übertragungsfunktion erhält man nun durch Anwendung der verallgemeinerten Übertragungsfunktionsformel für ein System 1. Ordnung:$H(s)=\frac{H_0+H^1s\tau_1}{1+s\tau_1}$. Wenn Sie nun die gefundenen Ausdrücke ersetzen, vereinfachen und einen unendlichen Gewinn betrachten, dann sollten Sie finden:$H(s)=\frac{1+s(R_{2a}+R_{2b})C_1}{sC_1R_2a}$was sich vorteilhaft im Low-Entropie-Format ausdrücken lässt:

$H(s)=H_{\infty}(1+\frac{\omega_z}{s})$mit$\omega_z=\frac{1}{C_1(R_{2a}+R_{2b})}$Und$H_{\infty}=\frac{R_{2a}+R_{2b}}{R_{2a}}$

Mathcad kann diese Übertragungsfunktion wie folgt darstellen:

Für die Eingangsimpedanz ist dies nicht komplizierter. Der Stimulus wird zum Testgenerator$I_T$eine Antwort entwickeln$V_T$über seine Terminals. Sie bestimmen zunächst den DC-Eingangswiderstand$R_0$und dann die Null, wenn die Stromquelle durch einen Kurzschluss ersetzt wird (es ist der degenerierte Fall einer Stromquelle, deren Klemmenspannung 0 V beträgt - die Antwort wird auf Null gesetzt). Die Schaltung ist unten dargestellt:

Der Gleichstromwiderstand$R_0$erhält man durch Öffnen des Kondensators$C_1$. Die Berechnung ist einfach und führt Sie zu$R_0=\frac{R_1}{1+A_{OL}}$. Der Pol wird berechnet, indem man die Erregung auf 0 A setzt: Stromquelle öffnen und den Widerstand „gesehen“ ausrechnen$C_1$'s Terminals in diesem Modus. Du solltest finden$\tau_2=C_1(R_{2b}+\frac{R_2a}{1+A_{OL}}\approx C_1R_2b$. Der Zähler ist tatsächlich derselbe wie unser zuvor definierter Nenner, da die Zeitkonstante erhalten wird, wenn die Antwort über die Stromquelle auf Null gesetzt wird (ersetzen Sie sie durch einen Kurzschluss), und diese Konfiguration ist ähnlich zu haben$V_{in}=0$. Ordnen Sie um, vereinfachen und organisieren Sie neu, um den folgenden Ausdruck für zu finden$V_{in}(s)$:

$V_{in}(s)=R_0\frac{N(s)}{D(s)}=R_0\frac{1+s\tau_1}{1+s\tau_2}\approx -R_1\frac{sC_1R_{2a}}{1+sC_1R_{2b}}$.

In einem Low-Entropie- Format, wenn Sie es berücksichtigen$sC_1R_{2b}$wir haben$Z_{in}(s)=R_{\infty}\frac{1}{1+\frac{\omega_p}{s}}$mit$\omega_p=\frac{1}{C_1R_{2b}}$Und$R_{\infty}=\frac{R_1R_{2a}}{R_{2b}}$.

Wenn Sie diesen Ausdruck zeichnen, können Sie sehen, wie die Phase schön auf -180 ° trifft und die negative Eingangsimpedanz bestätigt:

Indem Sie den Potentiometerwert ändern, ändern Sie den Begriff$R_{\infty}$. Die folgende SPICE-Simulation passt perfekt zu den Berechnungen:

Im Gegensatz zu dem, was der Text für das Bild in Abbildung 4 sagt, scheint die Schaltung jedoch eine Schaltung zu erzeugen, die eine negative Induktivität in // mit einem negativen Widerstand kombiniert. Mit den Simulationswerten erhalte ich ein ähnliches Eingangsimpedanzdiagramm (Betrag und Phase), wenn ich eine -80-H-Induktivität mit einer -400-k parallel schalte$\Omega$Widerstand.