Berechnung der Lichtreflexion, wenn sich der Brechungsindex kontinuierlich ändert

Angenommen, wir definieren Folgendes$\zeta = \ln{\varepsilon}$Und$\xi = \ln{\mu}$, Wo$\varepsilon$Und$\mu$sind die Permittivität bzw. Permeabilität . In einem System ohne Quellen (d. h.$\mathbf{j} = 0$Und$\rho_{c} = 0$), dann wissen wir das$\nabla \cdot \mathbf{D} = 0$, Wo$\mathbf{D} = \varepsilon \ \mathbf{E}$Und$\mathbf{B} = \mu \ \mathbf{H}$. Nach einer kleinen Vektorrechnung können wir zeigen, dass:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = - \nabla \zeta \cdot \mathbf{E} \tag{0}$$ Unter Verwendung dieser und einiger Manipulationen des Faradayschen Gesetzes und des Ampereschen Gesetzes können wir zeigen, dass die allgemeine Differentialgleichung nur in Bezug auf elektrische Felder gegeben ist durch: $$\left( \mu \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \nabla^{2} \right) \mathbf{E} = \left( \mathbf{E} \cdot \nabla \right) \nabla \zeta + \left( \nabla \zeta \cdot \nabla \right) \mathbf{E} + \nabla \left( \zeta + \xi \right) \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) \tag{1}$$

Wir können uns davon eine kleine Erleichterung verschaffen, indem wir annehmen, dass die Permeabilität die des freien Raums ist, dh$\nabla \xi = 0$. Wenn wir weiter argumentieren, dass die einzige Richtung, in der Gradienten eine Rolle spielen, entlang ist$\hat{x}$und dass der einfallende Wellenvektor,$\mathbf{k}$, ist parallel dazu, dann können wir Gleichung 1 weiter vereinfachen zu:

$$\left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) \mathbf{E} = \left( \mathbf{E} \cdot \nabla \right) \zeta' \hat{x} + \left( \zeta' \frac{ \partial }{ \partial x } \right) \mathbf{E} + \zeta' \hat{x} \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) \tag{2}$$ Wo$\zeta' = \tfrac{ \partial \zeta }{ \partial x }$.

Nach einigen weiteren Manipulationen können wir dies in Komponenten aufteilen, um Folgendes zu zeigen:

$$\begin{align} \text{x : } \left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) E_{x} & = E_{x} \zeta'' + \zeta' \frac{ \partial E_{x} }{ \partial x } \tag{2a} \\ \text{y : } \left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) E_{y} & = 0 \tag{2b} \\ \text{z : } \left( \mu_{o} \varepsilon \frac{ \partial^{2} }{ \partial t^{2} } - \frac{ \partial^{2} }{ \partial x^{2} } \right) E_{z} & = 0 \tag{2c} \end{align}$$

An der Grenze, wo die einfallende Welle vollständig transversal ist, also$E_{x} = 0$und die x-Komponente (Gleichung 2a) ist vollständig Null.

Als nächstes nehmen Sie das an$\mathbf{E} = \mathbf{E}_{o}\left( x \right) e^{i \omega t}$, Wo$\omega$ist die Frequenz der einfallenden Welle. Dann gibt es an jedem gegebenen Punkt einfallende, reflektierte und übertragene Beiträge zum Gesamtfeld (naja, das übertragene ist im ersten Medium natürlich immer Null). Alle Vorfälle und übermittelten Beiträge mit haben$\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} > 0$während reflektierte Wellen befriedigen$\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} < 0$. Sie definieren das Verhältnis der reflektierten zu den einfallenden Feldern (Wellenimpedanzen wären geeigneter), um den Reflexionskoeffizienten zu erhalten.

Einfacherer Ansatz
Ein viel einfacherer Ansatz besteht darin, zu wissen, wo man nach Antworten auf diese Art von Fragen suchen muss. Wie ich in den Kommentaren erwähnt habe, wurde zu diesem Thema (dh dem räumlich abhängigen Brechungsindex) eine Menge Arbeit für die Ionosphäre geleistet . Wenn wir uns zum Beispiel Röttger [1980] ansehen, finden wir eine schöne, praktische Gleichung für den Reflexionskoeffizienten,$R$, als Funktion des Brechungsindex, gegeben durch:

$$R = \int \ dx \ \frac{ 1 }{ 2 \ n\left( x \right) } \frac{ \partial n\left( x \right) }{ \partial x } \ e^{-i \ k \ x} \tag{3}$$

Es gibt keinen analytischen Ausdruck für$R$für Ihren spezifischen Brechungsindex. Die numerische Integration ist jedoch nicht schwierig, wenn man die Werte für kennt$d$Und$\epsilon$. Beachten Sie, dass, wenn wir eine Taylor-Entwicklung für klein durchführen$\epsilon$, dann ist der Integrand (ohne Exponential) proportional zum Kosinus, nach erster Ordnung in$\epsilon$(Kosinus mal Sinus, wenn wir zur zweiten Ordnung gehen).

Verweise

• Gossard, EE "Brechungsindexvarianz und ihre Höhenverteilung in verschiedenen Luftmassen", Radio Sci. 12 (1), S. 89–105, doi: 10.1029/RS012i001p00089 , 1977.
• Röttger, J. „Reflektion und Streuung von VHF-Radarsignalen von atmosphärischen Brechungsstrukturen“, Radio Sci. 15 (2), S. 259–276, doi: 10.1029/RS015i002p00259 , 1980.
• Röttger, J. und CH Liu "Teilreflexion und Streuung von VHF-Radarsignalen aus der klaren Atmosphäre", Geophys. Auflösung Lette. 5 (5), S. 357-360, doi: 10.1029/GL005i005p00357 , 1978.

Elektromagnetische Wellengleichung für$\vec E$in einem isotropen Medium mit$\mu=\mathrm{const}$und keine freien ströme noch gebühren liest

$$-\nabla^2\vec E+\mu\varepsilon\partial_t^2\vec E=-\nabla\left(\vec E\cdot\frac{\nabla\varepsilon}{\varepsilon}\right).\tag1$$

(Sie kann aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden, ähnlich wie Wikipedia es für mikroskopische Wellengleichungen macht.)

Wenn$\varepsilon$variiert nur mit$\hat x$, und eine aus dem leeren Raum einfallende ebene Welle breitet sich ebenfalls entlang aus$\hat x$, dann sollte auch die weitere Entwicklung symmetrisch sein$\hat y$Und$\hat z$. Somit ist das Skalarprodukt auf der rechten Seite von$(1)$verschwindet, und wir erhalten die übliche Wellengleichung

$$-\nabla^2\vec E+\mu\varepsilon\partial_t^2\vec E=0,\tag2$$

woraus wir durch Setzen die Gleichung für Eigenmoden erhalten können$\vec E=\vec E_0e^{i\omega t}$:

$$-\frac{c^2}{n^2}\nabla^2\vec E_0=\omega^2\vec E_0.\tag3$$

Für eine entlang polarisierte Welle$\hat z$, wir haben$E_x=E_y\equiv0$, und wir haben nur noch eine einzige ODE für$E_z$:

$$-\frac{c^2}{n^2}\frac{\mathrm d^2 E_{0z}}{\mathrm d x^2}=\omega^2 E_{0z}.\tag4$$

Dieser ist im Allgemeinen nicht analytisch lösbar. Bei einem periodischen Medium kann der Bereich für die numerische Berechnung jedoch durch das Bloch-Theorem auf eine einzelne Periode reduziert werden (für einige Frequenzen kann Ihre Bloch-Wellenzahl imaginär werden, das ist für Bandlückenlösungen in Ordnung). Dann können Sie Ihre einfallenden und reflektierten ebenen Wellen mit diesem Lösungssatz abgleichen, indem Sie geeignete Schnittstellenbedingungen fordern: Kontinuität von$E_{0z}$und seine erste Ableitung (auch wenn$n(x)$ist an der Grenzfläche diskontinuierlich); diese Bedingungen können direkt daraus abgeleitet werden$(4)$.

Nachdem Sie den oben beschriebenen Abgleich durchgeführt haben, hat Ihre reflektierte Welle eine Amplitude$r$, woraus sich Ihr Reflexionsfaktor ergibt$R=|r|^2$.

Ich werde zwei Ansätze skizzieren. Beide beinhalten eine numerische Lösung.

Methode 1. Verwenden Sie das Transmissionsmatrixkonzept, aber für eine sehr große Anzahl kleiner Schritte durch das Material. Für jeden kleinen Schritt$\delta z$Finden Sie die Matrix basierend auf der lokalen Indexänderung und multiplizieren Sie sie mit der Matrix, die Sie bisher haben.

Methode 2. Lösung der Wellengleichung. Du hast

$$\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} - \frac{c^2}{n^2} \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} = 0$$ (Ich denke, das ist ok, auch wenn$n$ist eine Funktion von$z$, aber um ehrlich zu sein, bin ich mir nicht ganz sicher und Sie müssten dies prüfen, bevor Sie fortfahren. Born and Wolf ist eine gute Quelle.) Angenommen, diese Differentialgleichung ist die richtige (oder sie wird durch eine andere richtige ersetzt), dann brauchen Sie nur einen standardmäßigen numerischen Löser für partielle Differentialgleichungen zu verwenden. Matlab hat sie, Python und viele andere Sprachen auch.

Ich habe diese Antwort aus dem Kopf heraus geschrieben. Ich würde ihm nicht vertrauen, bis ich etwas weiter ausgearbeitet hätte, und ich würde wahrscheinlich beide Methoden einrichten und damit verwenden wollen, um sie gegenseitig zu überprüfen.