Dauer der Satellitenumlaufbahn im Schatten der Erde

Nehmen wir an, das Licht der Sonne ist parallel, dann sieht der Schatten der Erde so aus:

Die gepunktete Linie ist die Umlaufbahn des Satelliten in einer Höhe$h$(Ich habe die Höhe etwas übertrieben, um das Diagramm klarer zu machen). Wir müssen nur den Winkel berechnen$\theta$, denn die Zeit, in der sich der Satellit im Schatten der Erde befindet, ist einfach:

$$t = \tau \frac{2\theta}{2\pi} \tag{1}$$

Wo$\tau$ist die Periode des Satelliten. Aus dem Diagramm sollte ersichtlich sein, dass der Abstand, den ich als bezeichnet habe$d$ist gleich dem Radius der Erde,$r$, und deshalb:

$$(r + h) \sin\theta = r$$

oder:

$$\theta = \arcsin \left( \frac{r}{r + h} \right) \tag{2}$$

Schließlich die Periode des Satelliten ,$\tau$, ist gegeben durch:

$$\tau = 2\pi\sqrt{\frac{(r+h)^3}{GM}} \tag{3}$$

Wo$M$ist die Masse der Erde und$G$ist die Newtonsche Konstante .

Wenn wir all dies zusammenfassen, ergibt Gleichung 2 für einen Satelliten in 1000 km Entfernung den Winkel$1.044$Radianten (59,8°) und Gleichung 3 gibt uns die Periode an$\tau = 105.15$Protokoll. Das Einspeisen dieser Ergebnisse in Gleichung 1 sagt uns, dass die Zeit, in der sich der Satellit im Schatten der Erde befindet, ist$34.9$Protokoll.