Die Dirac-Delta-Funktion als Anfangszustand für das quantenfreie Teilchen

So würden Sie es in der Tat angehen. Beachten Sie jedoch, dass es keine Garantie dafür gibt, dass die Lösung vernünftig ist oder dass das Integral überhaupt existiert. Da die Schrödinger-Gleichung weitgehend zeitumkehrbar ist, ist es im Wesentlichen garantiert, dass Sie nicht in physikalischen Zuständen landen.

Eine Sache, die zu beachten ist, ist die Frequenz$\omega=\omega(k)$ist eine Funktion des Wellenvektors$k$durch die Dispersionsrelation, die im Wesentlichen die Schrödinger-Gleichung kodiert, as$\omega=E/\hbar=\hbar k^2/2m$. Das heißt, der Staat ist

$$\begin{align} \Psi(x,t) & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m} t)} dk \\ & = \frac{1}{2 \pi} e^{i\frac{m}{2\hbar t}x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\frac{\hbar t}{2m}(k-\frac{m}{\hbar t}x)^2} dk . \end{align}$$ Dieses Integral konvergiert zufällig. So lange wie$t\neq0$, es ist ein Fresnel-Integral und bedarf keiner Regularisierung, um zu konvergieren. (Andererseits unterscheiden sich seine Konvergenzeigenschaften vom regularisierten Fall: Er ist nicht absolut konvergent, und die Einheitlichkeit der Konvergenz bzgl$x$und$t$ist anders.) Sobald Sie es integrieren, erhalten Sie $$\Psi(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right].$$ Beachten Sie insbesondere, dass Sie dies erhalten, wenn Sie es anschließen$a=0$in Ruslans anfängliche Wellenfunktion. Genau das ist das Regularisierungsverfahren, das zwar sinnvoll sein kann, aber nicht zwingend erforderlich ist.

Dieser Zustand ist natürlich nicht körperlich, da$|\Psi(x,t)|^2\equiv\text{const}$, aber das war zu erwarten. Überraschend ist, dass die Amplitude ungleich Null und für den gesamten Raum konstant ist, egal wie klein er ist$t$ist, aber auch das ist zu erwarten, da$\delta(x)$enthält Komponente bei jedem Impuls, egal wie hoch. Diese Funktion sieht wie folgt aus:

Beachten Sie, dass die höherfrequenten Komponenten immer weiter vom Ursprung entfernt sind. Dies ist vernünftig, da sich diese höheren Impulse schneller fortbewegen.

Die eigentliche Frage ist nun, ob diese Funktion tatsächlich eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist. Es wurde durch das Standardverfahren erhalten, in der Hoffnung, dass es funktionieren würde, und wenn eine Lösung funktioniert, erwarten wir tatsächlich, dass es diese ist. Das lässt aber die Frage offen, ob

$$\Psi(x,t)=\begin{cases}\delta(x) & t=0\\ \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right]&t\neq 0\end{cases}$$ erfüllt tatsächlich die Differentialgleichung $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)$$ in irgendeiner nützlichen (vermutlich verteilenden) Richtung. Das bleibt dem Leser als Übung überlassen . ( Eigentliche Übung für den Leser.)

Betrachten Sie die Entwicklung des Gaußschen Wellenpakets . Seine Wellenfunktion in Ortsdarstellung sieht so aus:

$$\Psi(\vec r,t)=\left(\frac a{a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\vec r\cdot \vec r}{2(a+i\hbar t/m)}\right).\tag1$$

Entsprechende relative Wahrscheinlichkeitsdichte ist

$$P(r)=|\Psi|^2=\left(\frac a{\sqrt{a^2+(\hbar t/m)^2}}\right)^3\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right),\tag2$$

oder unter Vernachlässigung des gesamten zeitabhängigen und positionsunabhängigen Koeffizienten,

$$P'(r)=\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right).\tag3$$

Sie erhalten eine Dirac-Delta-ähnliche Wellenfunktion von einer anfänglichen Gaußfunktion, wenn Sie die Grenze nehmen$a\to0$. Aber für jede endlich$t$die Grenze von$(3)$ist

$$\lim_{a\to0}P'(r)=1,$$

dh zu jedem endlichen Zeitpunkt seit Beginn der Evolution wird Ihre Position völlig unbestimmt sein. Jetzt ist also nichts mehr wirklich bestimmt – sei es Impuls oder Position, also ist der Versuch, die Entwicklung eines solchen Zustands zu finden, weitgehend nutzlos: Sie können nichts von Ihrem endgültigen Zustand vorhersagen.

Ich möchte fragen, ob es sinnvoll ist, die Dirac-Delta-Funktion als Anfangszustand zu verwenden ($\psi(x,0)$) für die freie Teilchenwellenfunktion und interpretiere sie so, dass ich sage, dass das Teilchen genau bei ist$x=0$Währenddessen$t=0$?

Nein, da die Delta-Funktion nicht mit der Born-Interpretation der Funktion konform ist$\psi$. Sich entwickelnde Funktion, die eine Delta-Funktion ist$x$zum Zeitpunkt$t_0$gibt Ihnen keine reguläre Wellenfunktion, aber es gibt Ihnen den Propagator der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung. Dies kann verwendet werden, um eine reguläre Wellenfunktion zur Zeit auszudrücken$t$als Integral der Wellenfunktion zu einem früheren Zeitpunkt$t_0$. Siehe Abschnitt „The Free Particle Propagator“ unter http://physwiki.ucdavis.edu/Quantum_Mechanics/1-D_Quantum_Mechanics/Time-Dependent_Solutions%3a_Propagators_and_Representations