3D-Delta-Potenzialbrunnen

Der 1D-Delta-Potentialtopf v ( x ) = − EIN δ ( x − a ) hat immer genau einen gebundenen Zustand. Dasselbe gilt für den 3D-Delta-Potentialtopf v ( r → ) = − EIN δ ( r → − a → ) . Das kann ich vorweisen ℓ = 0 , ich weiß nicht, wie ich die Berechnungen sonst machen soll.

Also zwei Fragen,

  1. Kann ich schlussfolgern, dass es nur einen gebundenen Zustand für das 3D-Potential gibt? ℓ ≠ 0 ? Ich habe gesehen, dass die Energien der Eigenzustände für das Wasserstoffatom nur von abhängen n , aber ich frage mich, ob dies ein Beispiel für ein allgemeineres Ergebnis ist?

  2. Wann a → = 0 und ℓ = 0 , gibt es keine normierbaren Eigenzustände. Zum ℓ ≠ 0 , das effektive Potential in der Radialgleichung am Ursprung groß wird, kann ich daraus schließen, dass es keine gebundenen Zustände gibt, wenn a → = 0 ?

Antworten (1)

Da das Energiespektrum nicht von der absoluten Position abhängt r → = a → des Deltapotentials können wir davon ausgehen a → = 0 → . Daher sagt OP in seiner aktuellen Formulierung (v1) dies effektiv aus

Das attraktive 1D-Deltapotential v ( x ) = − EIN δ ( x ) , EIN > 0 , hat genau einen gebundenen Zustand. Dasselbe gilt für das 3D-Delta-Potential v ( r → ) = − EIN δ 3 ( r → ) .

Nein, das bloße 3D-Delta-Potential stellt ohne irgendeine Art von Regularisierung/Renormalisierung kein gut gestelltes mathematisches Problem dar, siehe z. 1 und Ref.-Nr. 2. Das nackte Spektrum hat unendlich viele gebundene Zustände und ist nicht nach unten begrenzt.

Letzteres lässt sich z. B. mit der Variationsmethode rigoros nachweisen . Beweis: Betrachten Sie eine normalisierte Gaußsche Test-/Versuchswellenfunktion

ψ ( r )   =   N e − r 2 2 L 2   =   N e − x 2 + j 2 + z 2 2 L 2 , ∫ d 3 r   | ψ ( r ) | 2   =   ⟨ ψ | ψ ⟩   =   1 ,

wo N , L > 0 sind zwei Konstanten. Aus Dimensionsgründen ist die Konstante L muss die Dimension der Länge haben, und 1 / N 2 muss die Dimension des Volumens haben. Es folgt dem

  1. Die Normalisierungskonstante N muss skalieren wie

    N   ∝   L − 3 2 .

  2. Der Erwartungswert ⟨ ψ | K | ψ ⟩ des kinetischen Energieoperators K = − ℏ 2 2 m Δ muss skalieren wie

    0   ≤   ⟨ ψ | K | ψ ⟩   ∝   L − 2 ,
    im Wesentlichen wegen des Laplace-Operators Δ = ∇ → 2 enthält zwei Positionsableitungen.

  3. Der Erwartungswert ⟨ ψ | v | ψ ⟩ der potentiellen Energie v = − EIN δ 3 ( r → ) muss skalieren wie

    0   ≥   ⟨ ψ | v | ψ ⟩   =   − EIN N 2   ∝   − L − 3 .

Also durch Auswahl L → 0 + kleiner und kleiner, die negative potentielle Energie ⟨ ψ | v | ψ ⟩ ≤ 0 schlägt die positive kinetische Energie ⟨ ψ | K | ψ ⟩ ≥ 0 , so dass die durchschnittliche Energie ⟨ ψ | H | ψ ⟩ wird immer negativer,

⟨ ψ | H | ψ ⟩   =   ⟨ ψ | K | ψ ⟩ + ⟨ ψ | v | ψ ⟩   →   − ∞ zum L → 0 + .

Das Spektrum ist also nach unten unbeschränkt.

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Verweise:

  1. S. Geltman, Bound States in Delta Function Potentials, Journal of Atomic, Molecular, and Optical Physics, Band 2011, Artikel-ID 573179 .

  2. RJ Henderson und SG Rajeev, Renormalized Path Integral in Quantum Mechanics, arXiv:hep-th/9609109 .

+1 Als eines dieser unschätzbaren Teile der entscheidenden Physik kann man eine einfache Dimensionsanalyse in derselben Box wie die Periode einer Pendelskalierung erhalten 1 / Länge (wenn auch ein etwas anspruchsvolleres Ergebnis).
@Qmechanic: +1, aber man sollte nach dem richtigen Limit fragen, das nicht explodiert.
Literaturhinweise: 1. DB Kaplan, 2016 Vorträge zu EFT , p. 8.
ist eine Regularisierung auch für repulsive Delta-Potentiale erforderlich?
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