Lösung für inverses quadratisches Potential in d = 3d = 3d = 3 räumlichen Dimensionen in der Quantenmechanik [Duplikat]

Man kann zeigen, dass das inverse quadratische Potential

$$V(r)~=~\frac{\hbar^2}{2m}\frac{c}{r^2}~\propto~\frac{1}{r^2}, \tag{1}$$

In$d$räumliche Dimensionen hat mathematisch gesehen drei Alternativen, abhängig von der dimensionslosen Proportionalitätskonstante

$$c_d~\equiv~\frac{(d-1)(d-3)}{4}+c~\equiv~\varkappa^2-\frac{1}{4}~\in~\mathbb{R}.\tag{2}$$

1. Fall$c_d < -\frac{1}{4}$: Das Spektrum ist nach unten unbeschränkt, dh das System ist instabil.

2. Fall$c_d\geq \frac{3}{4}$: Es gibt überhaupt keine gebundenen Zustände.

3. Fall$-\frac{1}{4} \leq c_d < \frac{3}{4}$: Es ist möglich, asymptotische Randbedingungen (ABCs) bei zu definieren$r=0$/ selbstadjungierte Erweiterungen des Hamiltonoperators, so dass das Spektrum nach unten begrenzt ist. Einige dieser Erweiterungen haben gebundene Zustände, andere nicht.

Aus physikalischer Sicht mag es unnatürlich erscheinen, dass Schlussfolgerungen von einstellbaren ABCs abhängen, die auferlegt werden$r=0$. Die übliche Physiklehre besagt, dass ein inverses Quadratpotential nur eine effektive Beschreibung ist und dass vermutlich neue Physik entstehen sollte, um die Singularität aufzulösen$r=0$. Von nun an diskutieren wir in dieser Antwort nur das vorliegende rein mathematische Problem, auch wenn es etwas akademisch ist.

Erstens drücken Winkelanregungen die Energie nur nach oben, niemals nach unten, daher reicht es aus, kugelsymmetrisch zu analysieren$s$-Wellen

$$\psi(r) ~\equiv~r^{\frac{1-d}{2}}u(r) , \qquad u(r)~\equiv~\sqrt{r}~ v(r) ,\tag{3}$$ und damit vereinfacht sich das Energiefunktional zu

$$\begin{align}\frac{2m}{\hbar^2} \frac{\langle \psi | \hat{H} \psi \rangle}{{\rm Vol}(S^{d-1})} &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \!r^{d-1}~ dr~ \psi(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial^2}{\partial r^2}-\frac{d-1}{r}\frac{\partial}{\partial r} +\frac{c}{r^2}\right) \psi(r) \cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ u(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{c_d}{r^2}\right) u(r)\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ v(r)^{\ast} \left(- \frac{\partial}{\partial r}r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\varkappa^2}{r}\right) v(r). \tag{4}\end{align}$$

1) Skizzierter Beweis des Falles$c_d< -\frac{1}{4}$: Lassen Sie uns eine Trial/Test-Funktion untersuchen

$$u(r)~=~ r^{p}e^{-r/2}, \qquad \frac{1}{2}~<p~<~\sqrt{-c_d}, \tag{5}$$

im Limit

$$p ~\searrow~ \frac{1}{2}. \tag{6}$$

Die quadratische Norm

$$\frac{||\psi||^2}{{\rm Vol}(S^{d-1})}~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr~ |u(r)|^2~=~ (2p)! ~\searrow~ 1 \quad\text{for}\quad p ~\searrow~ \frac{1}{2} \tag{7}$$

ist endlich. Das Energiefunktional (4) vereinfacht sich zu (nach partieller Integration)

$$\begin{align}\frac{2m}{\hbar^2} \frac{\langle \psi | \hat{H}| \psi \rangle}{{\rm Vol}(S^{d-1})} &~\stackrel{(4)}{=}~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr \left( |u^{\prime}(r)|^2 +\frac{c_d}{r^2} |u(r)|^2\right) \cr &~=~ \int_{\mathbb{R}_+} \! dr \left( \left(p-\frac{r}{2}\right)^2+c_d \right)r^{2p-2}e^{-r}\cr &~=~ \underbrace{(p^2+c_d)}_{<0}\underbrace{\int_{\mathbb{R}_+} \! dr ~r^{2p-2}e^{-r}}_{=(2p-2)!}+\text{finite terms}\cr &~\to~ -\infty\quad\text{for}\quad p ~\searrow~ \frac{1}{2},\tag{8} \end{align}$$

und ist nach unten unbeschränkt.$\Box$

Lassen Sie uns angesichts des vorherigen Abschnitts davon ausgehen$\varkappa^2~\equiv~c_d+\frac{1}{4}\geq 0$von jetzt an. Die radiale TISE

$$\frac{\hbar^2}{2m}\left(-\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}r\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\varkappa^2}{r^2}\right) v(r) ~=~ -|E|v(r), \qquad v(r\!=\!\infty)~=~0, \tag{9}$$

für gebundene Zustände wird die modifizierte Bessel-Gleichung . Die Lösung

$$\begin{align}v(r)~~\propto~&~ K_{\varkappa}(\rho) ~~\propto~~ -\frac{\sin (\varkappa\pi)}{\pi/2}K_{\varkappa}(\rho) ~=~I_{\varkappa}(\rho)-I_{-\varkappa}(\rho) \cr ~~\stackrel{\rho\ll 1}{\sim}&~~ \frac{(\rho/2)^{\varkappa}}{\Gamma(1+\varkappa)} -\frac{(2/\rho)^{\varkappa}}{\Gamma(1-\varkappa)} , \end{align} \tag{10}$$ $$\rho ~\equiv~\frac{\sqrt{2m|E|}}{\hbar}r, \tag{11}$$

ist eine modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art. Das Problem (9) hat eine Skalensymmetrie, so dass das Energiespektrum von unten unbeschränkt wird, es sei denn, wir legen ein entsprechendes ABC bei an$r=0$.

2) Skizzierter Beweis des Falles$c_d\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \varkappa\geq 1$: Der$\psi$-Wellenfunktion (10) ist bei nicht quadratintegrierbar$r=0$. Mit anderen Worten, einschlägiges ABC bei$r=0$verbietet die$\psi$-Wellenfunktion (10).$\Box$

3) Skizzierter Beweis des Falles$-\frac{1}{4} \leq c_d < \frac{3}{4}\Leftrightarrow 0\leq \varkappa<1$: Wir legen nun ABC (12) an$r=0$:

$$v(r)~~\propto~~(k_0r)^{\varkappa} + \lambda (k_0r)^{-\varkappa} + O(r), \qquad k_0r ~\ll~1, \qquad \lambda~\in~\mathbb{R}, \tag{12}$$

Wo

$$k_0~\equiv~\frac{mc}{\hbar}\tag{13}$$

ist die Compton-Wellenzahl, dh die reziproke reduzierte Compton-Wellenlänge . Hier$\lambda\in\mathbb{R}$ist ein fester dimensionsloser Parameter. Vergleich von Gl. (10) & (11), im Fall$0< \varkappa<1$, führt dies zu einem einzigen gebundenen Zustand

$$E~=~- 2mc^2 \left|\lambda\frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)} \right|^{-1/\varkappa} \quad \text{for}\quad \lambda~<~0,\tag{14}$$

und keine gebundenen Zustände, wenn$\lambda\geq 0$. Der Fall$\varkappa=0$hat ähnliche Schlussfolgerungen. Siehe Ref. 3 für Einzelheiten.$\Box$

Verweise:

1. AM Essin & DJ Griffiths, Quantenmechanik der$1/x^2$Potenzial, Am. J. Phys. 74 (2006) 109 .

2. LD Landau & EM Lifshitz, QM, Bd. 3, 3. Auflage, 1981;$\S$35.

3. DM Gitman, IV Tyutin & BL Voronov, arXiv:0903.5277 . (Huttipp: JamalS .)

Dies ist das Calogero-Potenzial . Es erscheint zumindest physikalisch sinnvoll. Beachten Sie die Ungleichheit,

$$\int_{\mathbb R^3} \frac{1}{4r^2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x \leq \int_{\mathbb R^3}|\nabla\psi(x)|^2 \mathrm d^3x$$

was für alle gilt$\psi \in C^\infty_0(\mathbb R^3)$. Mit Potenzial$V=cr^{-2}$der Hamiltonian ist so etwas wie$H = -\nabla^2 + cr^{-2}$und das haben wir,

$$\langle H \rangle = \int_{\mathbb R^3} \bar \psi(x)\left(-\nabla^2 + cr^{-2}\right)\psi(x)\, \mathrm d^3x = \int_{\mathbb R^3} |\nabla \psi(x)|^2 + cr^{-2}|\psi(x)|^2 \mathrm d^3x.$$

Für ein passend gewähltes Potential, nämlich mit$-c \leq \frac14$, wir haben das$\langle H \rangle \geq 0$, oder in Worten, wir haben garantiert, dass der Hamiltonoperator von unten begrenzt ist, was physikalisch sinnvoll ist. Dies ermöglicht uns auch eine gewisse Auswahl an selbstadjungierten Erweiterungen über die Friedrichs-Erweiterung.

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Spektrum

Für$c \geq \frac34$, gibt es nur einen selbstadjungierten Hamiltonoperator, dessen Spektrum ist$\mathbb R_+$. Die normalisierten verallgemeinerten Eigenfunktionen sind

$$u_{1,E}(x) = \sqrt{\frac{x}{2}} J_\varkappa(\sqrt{E}x)$$

für$E \geq 0$und eine bestimmte Bessel-Funktion,$J_\varkappa$.

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Für$-\frac14 < c < \frac34$, gibt es einen Ein-Parameter$U(1)$-Familie von selbstadjungierten Hamiltonianern. Die normierten Eigenfunktionen sind

$$u_{2,\lambda,E}(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}\frac{J_\varkappa(\sqrt E x) + \gamma\sqrt{x} J_{-\varkappa}(\sqrt E x)}{\sqrt{1+2\gamma \cos\pi\varkappa} + \gamma^2}$$

Wo$\gamma = \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}(E/4k^2_0)^\varkappa$. Für$\lambda \geq 0$Wir haben das gleiche Spektrum, aber für negativ$\lambda$, hat man,

$$\mathrm{spec} \, H_{2,\lambda} = \left\{-4k^2_0 \bigg\rvert \lambda \frac{\Gamma(1-\varkappa)}{\Gamma(1+\varkappa)}\bigg\rvert^{-1/\varkappa} \right\} \cup [0,\infty)$$

die einen gebundenen Zustand hat. Weitere Informationen finden Sie unter Selbstadjoint-Erweiterungen und Spektralanalyse im Calogero-Problem , das die eigenständigste und vollständigste Behandlung ist, die ich finden konnte. die anderen Fälle werden behandelt, ebenso wie zusätzliche Aspekte des Problems.