Wann sind Eigenfunktionen/Wellenfunktionen reell?

Alle gebundenen Zustände können typischerweise so gewählt werden, dass sie reellwertige Wellenfunktionen haben. Der Grund dafür ist, dass ihre Wellenfunktion einer echten Differentialgleichung gehorcht,

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf r)+V(\mathbf r)\psi(\mathbf r)=E\psi(\mathbf r)$$ und daher können Sie für jede Lösung eine zweite Lösung konstruieren, indem Sie das komplexe Konjugat nehmen $\psi(\mathbf r)^\ast$. Diese zweite Lösung wird entweder sein

• linear abhängig von$\psi$, in welchem ​​Fall$\psi$unterscheidet sich von einer reellwertigen Funktion durch eine Phase, oder
• linear unabhängig, in diesem Fall können Sie diese Basis in die beiden unabhängigen reellwertigen Lösungen "rotieren".$\operatorname{Re}(\psi)$Und$\operatorname{Im}(\psi)$.

Für Kontinuumszustände gilt das auch, aber nicht ganz so klar, da die Randbedingungen bei Konjugation nicht invariant sind: einfallende Streuwellen mit asymptotischem Impuls$\mathbf p$verhalten sich beispielsweise asymptotisch wie$e^{i\mathbf p\cdot \mathbf r/\hbar}$, und dies ändert sich bei der Konjugation in ausgehende Wellen. Obwohl Sie also immer noch zwei reellwertige Lösungen bilden können, werden sie stehende Wellen sein und die Physik wird ganz anders sein.

Im zweiten Fall, wenn Sie eine Entartung haben, unterscheiden sich die physikalischen Eigenschaften der reellwertigen Funktionen im Allgemeinen von denen der komplexwertigen. Zum Beispiel in der Molekularphysik,$\Pi$Staaten haben typischerweise eine solche Entartung: Sie können wählen

• $\Pi_x$Und$\Pi_y$Zustände, die reell sind, haben einen Knoten auf dem$x$Und$y$Ebene bzw. haben einen entsprechenden Faktor von$x$Und$y$in der Wellenfunktion und haben eine erwartete Drehimpulskomponente von Null entlang der$z$Achse bzw
• $\Pi_\pm$Staaten, die einen komplexen Faktor von haben$x\pm i y$und keinen Knoten, und haben einen bestimmten Drehimpuls von$\pm \hbar$über die$z$Achse.

Also: Sie können immer einen reellwertigen Eigenzustand wählen, aber es ist möglicherweise nicht immer der gewünschte.

Zusätzlich zu Emilios großartiger Antwort und als Antwort auf Ihre zweite Frage: Speziell in 1D potenzielle Probleme (dh$\hat H = \frac{1}{2m} \hat p^2 + V(\hat x)$) können alle gebundenen Zustände gleichzeitig real gemacht werden. Dies liegt an dem Satz, dass gebundene Zustände in 1D nicht entartet sind; Dann,$\psi$Und$\psi^*$, die beide Lösungen in jeder Dimension sind, müssen linear abhängig sein.

Die Situation ist anders, wenn Sie ein Magnetfeld haben; dann ist das Rezept ("Minimalkopplung") zu ersetzen$\hat p \gets (\hat p - e A(\hat x))$, was zu einem komplexen Hamiltonoperator ($A$ist das Vektorpotential).

Auch gilt das obige Argument für ein „wohlerzogenes“ Potenzial; siehe http://arxiv.org/abs/0706.1135 für eine moderne Version davon.

Abschließend zu Ihrem Kommentar zu einer Bandstrukturberechnung: Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das meinen, aber zumindest im Zusammenhang mit bestimmten Codes werden Sie oft sagen hören, dass eine Berechnung für eine zentrosymmetrische Struktur ohne Spin-Orbit Kopplung ist "real", aber das bedeutet nicht, dass die wahren Eigenfunktionen$\psi_{nk}$sind reellwertig (denken Sie daran, dass sie einen Faktor für ebene Wellen enthalten$e^{ikr}$). Vielmehr können die Koeffizienten in der für die Berechnung verwendeten Basis reell gewählt werden.