QM: Endliches Potentialquadrat gut gelöst ohne Symmetrieannahme

Wie der Titel schon sagt, versuche ich, die Lösung des endlichen Potentials gut herauszufinden, ohne die ungerade / gerade Symmetrie des Potentials zu verwenden.

$$V(x) = \begin{cases} 0 & \text{otherwise} \\ -V_{0} & \text{-a $\leq$ x $\leq$ a} \\ \end{cases}$$

die Lösungen hat

$$\psi(x) = \begin{cases} \psi_{1}(x) = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x} & \text{x < -a} \\ \psi_{2}(x) = Ee^{ikx} + Fe^{-ikx} & \text{-a $\leq$ x $\leq$ a} \\ \psi_{3}(x) = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x} & \text{x > a}\\ \end{cases},$$ mit $\kappa = \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}$Und $k = \sqrt{\frac{2m(E+V_{0})}{\hbar^{2}}}$.

Wie üblich setzen wir$B=0$Und$C=0$, sodass die Funktion noch normalisiert werden kann. Dann verwenden wir die Kontinuität at$-a$,$a$von$\psi(x)$und sein Derivat$\psi'(x)$, ergibt:

$$\begin{align} \psi_{1}(-a) &= \psi_{2}(-a)\quad \rightarrow\quad Ae^{-\kappa a} = Ee^{-ika} + Fe^{ika} \\ \psi_{1}'(-a) &= \psi_{2}'(-a)\quad \rightarrow\quad \kappa Ae^{-\kappa a} = ik(Ee^{-ika} - Fe^{ika}) \end{align}$$ Und $$\begin{align} \psi_{2}(a) &= \psi_{3}(a)\quad \rightarrow \quad Ee^{ika} + Fe^{-ika} = De^{-\kappa a} \\ \psi_{2}'(a) &= \psi_{3}'(a)\quad \rightarrow \quad ik(Ee^{ika} - Fe^{-ika}) = -\kappa De^{-\kappa a} \end{align}$$

Von hier aus beginnt im Grunde mein Kampf. Ich habe verschiedene Methoden zum Addieren, Subtrahieren und Dividieren der Gleichungen ausprobiert, bin aber nie auf die Idee gekommen$\kappa = k\tan(ka)$(oder$\kappa = -k\cot(ka)$).

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich dieses Gleichungssystem lösen kann?

BEARBEITEN:

Wenn ich für die Normalisierung lösen wollte, dh

$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x)|^{2}}dx=1 ,$$

wie würde ich das machen? Weil es scheint, dass ich, nachdem ich die Gleichungen so weit wie möglich gelöst habe, immer noch bei den ZWEI Konstanten feststecke

$$E$$ Und $$F.$$