Wie berechnet man die Zeitentwicklung einer Wellenfunktion in einem unendlichen quadratischen 1D-Well-Potential?

Für ein Teilchen in einer Kiste kennen Sie das Verhalten spezieller Lösungen:

$$\psi_0(x)= \sin(kx)$$

Wo$k={\pi n\over a}$, wobei n eine ganze Zahl ist, entwickelt sich zu

$$\psi(x,t) = e^{- i\omega t} \sin(kx)$$

Wo$\omega = {k^2\over 2m}$(bis zu$\hbar$Faktoren, die ich eingestellt habe$\hbar=1$, wie Sie es für diese Art von Dingen tun sollten).

Sie können Ihre Wellenfunktion erweitern$x(A-x)$im Intervall zwischen 0 und A, als unendliche Reihe dieser Sinuswellen, ist dies die Fourier-Reihe. Da Sie wissen, wie sich jede Sinuswelle entwickelt, wissen Sie, wie sich das Ganze entwickelt, da die Schrödinger-Gleichung linear ist.

Die lineare Eigenschaft besagt, dass sich in einer Summe von Anfangsbedingungen jeder Term in der Summenzeit unabhängig entwickelt und sich dann zur Zeitentwicklung der Summe addiert.

Ich werde hier aufhören, weil das wie eine Hausaufgabe aussieht. Aber für einen Tipp, wie man Fourier-Reihen effizient macht, die Fourier-Reihe einer Delta-Funktion ist einfach, und wenn Sie eine Delta-Funktion zweimal (mit den entsprechenden Integrationskonstanten) integrieren, finden Sie Ihre Anfangsbedingung. Sie können die Fourier-Koeffizienten auch durch Brute Force finden, aber es erfordert ein wenig Integration in Teilen.