Wellenfunktion eines Teilchens im Gravitationsfeld

Question

Wellenfunktion eines Teilchens im Gravitationsfeld

Abolfazl

Angenommen, wir haben ein Teilchen mit Masse $m$ und Energie $E$ in einem Gravitationsfeld $V(z)=-mgz$ . Wie finde ich die Wellenfunktion? $\psi(z)$ ?

Es sollte eine integrale Form auf weisen $dp$ . Jede Hilfe wäre willkommen.

Was ich versucht habe

Eine Möglichkeit, das Problem zu lösen, ist die Verwendung einer Variablenänderung

X := {(\frac{ℏ^{2}}{2 M^{2} G})}^{2 / 3} \frac{2 M}{ℏ^{2}} (M G z - E)

$x~:=~\left(\frac{\hbar^2}{2m^2g}\right)^{2/3}\frac{2m}{\hbar^2}(mgz-E)$

wir können die Schrödinger-Gleichung auf reduzieren

\frac{D^{2} ϕ}{D X^{2}} - X ϕ (X) = 0

$\frac{d^2\phi}{dx^2}-x\phi(x)~=~0$

Dies ist eine Standardgleichung, deren Lösung gegeben ist durch

ϕ (X) = B Ai (X)

$\phi(x)~=~B~\text{Ai}(x)$ Wo

Ai

$\text{Ai}$ ist die Airy-Funktion . Aber meine Lösung sollte (nicht genau) so sein:

ψ (z) = N \int_{- \infty}^{\infty} D P \exp [(\frac{E}{M G} + z) P - \frac{P^{3}}{6 M^{2} G}]

$\psi(z)= N\int_{-\infty}^\infty dp \exp\left[\left(\frac{E}{mg}+z\right)p-\frac{p^3}{6m^2g} \right]$

Kyle Kanos

Scheint eine einfache Anwendung der Schrödinger-Gleichung zu sein. Was hast du versucht?

Abolfazl

Ich habe es durch WKB-Annäherung gelöst, aber meine Antwort stimmt nicht mit dem überein, was es im Test sein sollte.

Kyle Kanos

Vielleicht sollten Sie dann zeigen, was Sie getan haben , damit wir darauf hinweisen können, was Sie falsch gemacht haben.

Ruslan

Die Wellenfunktion eines Teilchens in sich linear änderndem Potential wird durch Airy-Funktionen gegeben.

Abolfazl

Ja, ich weiß, ich habe bearbeitet, während du sagtest.

Kyle Kanos

Dieser Wiki-Link sollte relevant sein.

Antworten (2)

Wellenfunktion eines Teilchens im Gravitationsfeld

Scheint eine einfache Anwendung der Schrödinger-Gleichung zu sein. Was hast du versucht?
Ich habe es durch WKB-Annäherung gelöst, aber meine Antwort stimmt nicht mit dem überein, was es im Test sein sollte.
Vielleicht sollten Sie dann zeigen, was Sie getan haben , damit wir darauf hinweisen können, was Sie falsch gemacht haben.
Die Wellenfunktion eines Teilchens in sich linear änderndem Potential wird durch Airy-Funktionen gegeben.

Kyle Kanos · Answer 1

Die Grundidee dafür ist die Verwendung der Impulsraumversion der Schrödinger-Gleichung:

\hat{P} \to P, \hat{X} \to ich ℏ \frac{\partial}{\partial P}

$\hat{p}\to p,\quad\hat{x}\to i\hbar\frac{\partial}{\partial p}$ und dann das System lösen ¹ ,

[\frac{P^{2}}{2 M} + ich M G ℏ \frac{D}{D P}] ϕ = E ϕ

$\left[\frac{p^2}{2m}+img\hbar\frac{d}{dp}\right]\phi=E\phi$

die lösbar sein sollten (zB komplexe Exponentiale). Sie können dann eine Fourier-Transformation durchführen , um den physischen Raum zu erhalten

ψ (X) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int D P e^{ich P X / ℏ} ϕ (P)

$\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dp\,e^{ipx/\hbar}\phi(p)$ Dies sollte mit den Erwartungen Ihres Professors übereinstimmen.

^{Formaler / verallgemeinert sollten Sie es bekommen}

\frac{P^{2}}{2 M} ϕ (P) + \int D P^{'} U (P - P^{'}) ϕ (P^{'}) = E ϕ (P)

$\frac{p^2}{2m}\phi\left(p\right)+\int dp'\,U\left(p-p'\right)\phi\left(p'\right)=E\phi\left(p\right)$ Wo

U (P) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int D X e^{- ich P X / ℏ} U (X)

$U(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx\,e^{-ipx/\hbar}U(x)$ aber dies wird sowieso auf das Obige reduziert

Ich stimme zu, ich habe diese Methode auch ausprobiert, aber ich fand sie etwas seltsam. Sie sollte mit mehr Aufwand lösbar sein. Lass mich weiter nachdenken. Danke schön.
@Abolfazl: zwei Dinge zu beachten, um sie als einen einzigen Hinweis zu kombinieren: (1) $\frac{d}{dx}\exp[f(x)]=\exp[f(x)]\cdot\frac{df}{dx}$ und (2) Ihre Lehrerlösung hat a $p^3$ Begriff darin.
Ich denke, wir können diese Form der Airy-Funktion verwenden $A ich (T) = \frac{1}{2 π ich} \int D P e X P (\frac{P^{3}}{3} - T P)$ $Ai(t)=\frac{1}{{2\pi i}}\int dp\,exp(\frac{p^3}{3}-tp)$ , Wiki , wo $t=mgz+E$
@Abolfazl: Ich würde argumentieren, dass Sie die Airy-Funktion überhaupt nicht kennen müssen. Also einfach komplett vergessen, dass es erwähnt wurde. Beginnen Sie mit einer Versuchswellenfunktion (im Impulsraum) der Form $\tilde{\phi}(p)=A\exp\left[f(p)\right]$ und sehen Sie, welche Bedingungen erforderlich sind $f(p)$ um dies zu befriedigen.

Abolfazl · Answer 2

[\frac{P^{2}}{2 M} + v (ich ℏ \frac{D}{D P})] ϕ (P) = E ϕ (P)

$\left[\frac{p^2}{2m}+V(i\hbar\frac{d}{dp})\right]\phi(p)=E\phi(p)$

[\frac{P^{2}}{2 M} + (- M G) (ich ℏ \frac{D}{D P})] ϕ (P) = E ϕ (P)

$\left[\frac{p^2}{2m}+(-mg)(i\hbar\frac{d}{dp})\right]\phi(p)=E\phi(p)$

\frac{1}{ich ℏ M G} (\frac{P^{2}}{2 M} - E) ϕ (P) = \frac{ϕ (P)}{D P}

$\frac{1}{i\hbar mg}(\frac{p^2}{2m}-E)\phi(p)=\frac{\phi(p)}{dp}$ Bei der Integration haben wir:

\frac{ich}{ℏ M G} (E P - \frac{P^{3}}{6 M}) = L N \frac{ϕ (P)}{ϕ (P_{Ö})}

$\frac{i}{\hbar mg}(Ep-\frac{p^3}{6m})=Ln\frac{\phi(p)}{\phi(p_{o})}$

ϕ (P) = ϕ (P_{0}) e^{\frac{E}{M G} P - \frac{P^{3}}{6 M^{2} G}}

$\phi(p)=\phi(p_{0})e^{\frac{E}{mg}p-\frac{p^3}{6m^2g}}$

ψ (z) = \int D P e^{ich P z / ℏ} ϕ (P)

$\psi(z)=\int dp e^{ipz/\hbar} \phi(p)$

ψ (z) = ϕ (P_{0}) \int_{- \infty}^{\infty} D P e^{ich / ℏ [(\frac{E}{M G} + z) P - \frac{P^{3}}{6 M^{2} G}]}

$\psi(z)=\phi(p_{0})\int_{-\infty}^\infty dp e^{i/\hbar \left[ (\frac{E}{mg}+z)p-\frac{p^3}{6m^2g}\right]}$

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