Gerade und ungerade Lösungen der Schrödinger-Gleichung

Gerade und ungerade Lösungen ergeben sich wie folgt. Vermuten$\psi_1(x)$ist eine Lösung für

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1(x)}{dx^2}+V(x)\psi_1(x)=E_1\psi_1(x)$$ und nehmen Sie die Änderung vor $x\to -x$überall. Dann $$\frac{d}{d(-x)}=-\frac{d}{dx}\, ,\qquad \frac{d^2}{d(-x)^2} =\frac{d^2}{dx^2}$$ also bekommen wir $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1(-x)}{dx^2}+V(-x)\psi_1(-x)=E_1\psi_1(-x)$$ Wenn Ihr Potenzial symmetrisch ist, dann $V(-x)=V(x)$und das sieht man $\psi_2(x):=\psi_1(-x)$ist auch die Lösung des Problems für das gleiche Potenzial. Seit $\psi_1(x)$Und $\psi_2(x)$denselben Eigenwert haben $E_1$, dann sieht man das leicht $$\phi(x)=A\psi_1(x)+B\psi_2(x)=A\psi_1(x)+B\psi_1(-x)$$
ist auch eine Lösung mit Energie $E_1$. Die gerade Lösung ist die Wahl $A=B$: in diesem Fall $\phi_+(x)=A (\psi_1(x)+\psi_1(-x))=\phi_+(-x)$, die eine gerade Funktion definiert. Die seltsame Lösung $\phi_-(x)$erhält man mit $B=-A$; es befriedigt $\phi_-(-x)=-\phi_-(x)$. Also in einem symmetrischen Potential für die $V(x)=V(-x)$, ist es immer möglich, gerade oder ungerade Lösungen für das Problem zu finden.

In Ihrem speziellen Fall beginnen Sie besser mit

$$\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll} A\sin(k(x+L))&\hbox{if }x<0\, ,\\ B\sin(k(x-L))&\hbox{if }x>0\, .\end{array}\right.$$ Dieses Formular garantiert $\psi(-L)=\psi(L)=0$wenn deine Wände stehen $x=\pm L$. Sie können wahrscheinlich das Argument jedes Sinus erweitern, um eine Sinus- und eine Cosinus-Kombination zu erhalten, aber diese Form macht deutlich, dass Sie die Randbedingungen erfüllen werden.

Die Parität der Lösung wird eingehen, wenn Sie sich darauf beziehen$A$Und$B$. Nehmen zum Beispiel$x\to -x$Änderungen$A\sin(k(x+L))\to A\sin(k(-x+L))=-A(\sin(k(x-L))$während$B\sin(k(x-L))\to -B\sin(k(x+L))$die gerade Lösung ist also mit$B=-A$. Da musst du suchen$k$Ausnutzung der Diskontinuität der Ableitungen