Stationäre Zustände eines dreieckigen Prismas

Ich muss die Wellenfunktionen der stationären Zustände eines quadratischen 3D-Potentialbrunnens finden, dessen Grenzen durch ein dreieckiges Prisma definiert sind - wie auf der Wikipedia-Seite dargestellt: https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_prism

Dreieckiges Prisma

Der Potentialtopf (im 1-d-Querschnitt betrachtet) ist ein einfacher quadratischer Potentialtopf und kann entweder endlich (0 außen, -V innen) oder unendlich (0 innen, ∞ außen) sein, beides wären vernünftige Annäherungen für meine Zwecke .

Das heißt, das Potential ist im Querschnitt ungefähr so, aber seine vollständige 3-D-Form ist die des dreieckigen Prismas:

möglicher Querschnitt

[Jede Lösung für eine enge Annäherung an diese Geometrie kann auch hilfreich sein (z. B. wenn das Problem für ein Prisma mit einem dreieckigen Reuleaux-Querschnitt anstelle eines gleichseitigen oder für einen Potentialtopf, der durch eine stetige Funktion beschrieben wird, einfacher zu lösen ist oder etwas, es könnte nah genug sein).]

Aufgrund der reduzierten Symmetrie im Vergleich zu den zylindrischen oder sphärischen Fällen aus dem Lehrbuch bin ich mir nicht sicher, wie ich das angehen soll.

Kann mir jemand einen Lösungsweg weisen? Danke vielmals!

Haben Sie diese en.wikipedia.org/wiki/Airy_function gelesen . Wenn es sich um eine 1D-Funktion handelt, könnte dies keinen Wert haben, aber wenn es sich um eine 3D-Funktion handelt, kann es Ihnen einen Hinweis auf das richtige zu verwendende Koordinatensystem geben.
Ich habe, das sind die Lösungen für ein Dreieckspotential, aber richtig? Mein Potenzial ist quadratisch, aber das Volumen, das seine Grenzen definiert, ist ein dreieckiges Prisma. Ich habe den ursprünglichen Beitrag bearbeitet, um ihn klarer zu machen - danke!
Zumindest in axialer Richtung soll es eine einfache Particle-in-a-Box-Lösung sein. Für die anderen beiden Komponenten bedeutet die Tatsache, dass der Hamilton-Operator unter 120-Grad-Drehungen invariant ist, vielleicht, dass die Eigenzustände auch diese Symmetrie bis auf eine Konstante haben?
Ich bin mir nicht sicher. Aufgrund der Symmetrie der sphärischen und zylindrischen Probleme können die radialen und eckigen Teile getrennt werden, aber in diesem Fall bin ich mir nicht sicher, ob dies möglich ist - der radiale Potentialtopf ändert seine Breite mit dem Winkel, und auch die Mitte des Dreiecks ändert sich nicht mit der Brunnenmitte zusammenfallen.
Schauen Sie sich das hier an: en.wikipedia.org/wiki/File:TriangleBarycentricCoordinates.svg Ich würde mir vorstellen, dass der Grundzustand an dem Punkt (1/3, 1/3, 1/3) sicherlich eine maximale Amplitude haben wird, aber das ist 2/3 entlang des 1-D-Querschnitts. Dieser Mangel an Symmetrie macht das Problem meines Erachtens komplizierter.
Entschuldigung, mir ist gerade aufgefallen, dass ich Ihre Antwort nicht richtig gelesen habe, Sie haben die axiale Richtung angegeben!

Antworten (1)

Bei endlicher Brunnentiefe bin ich mir unsicher, aber wenn die Wände unendlich hart sind, lässt sich dieses Problem genau lösen. Die Lösung ist in den Papieren detailliert

Weitere Artikel mit relevanten Lösungen finden Sie hier , hier und hier .

Der Verlust der kontinuierlichen Rotationssymmetrie bedeutet, dass Sie eine zweidimensionale PDE vollständig lösen müssen, aber die diskrete Symmetrie hilft, da die Lösungen Repräsentationen der tragen müssen D 3 Symmetriegruppe. Dies bedeutet, dass es strenge Beziehungen zwischen den Werten der Eigenfunktionen an den verschiedenen Kanten gibt, und diese können ausgenutzt werden, um mehrere Kopien der Domäne zusammenzufügen, um eine translationsinvariante Region zu bilden.

und Sie erwarten daher, dass die Lösungen Exponenten ebener Wellen in diesem erweiterten Bereich sind, die dann zurück auf Summen von Exponentialen auf der Innenseite des Dreiecks projiziert werden.

Ich bin mir nicht sicher, inwieweit sich diese Methoden auf die Version des Bohrlochs mit endlicher Tiefe übertragen lassen. Dieses Papier verwendet die numerische Diagonalisierung, um das Problem zu lösen, und das Googeln nach "dreieckigem Quantenpunkt" (wahrscheinlich der hilfreichste Ausgangspunkt) funktioniert nicht Sie ergeben nicht sofort etwas Vielversprechendes, und beides verheißt nicht viel Gutes für die Existenz geschlossener Lösungen. (Das Gleiche gilt für ihre Abwesenheit in dieser Rezension .) Da Sie angeben, dass das Problem der unendlichen Wände für Ihre Zwecke in Ordnung ist, möchte ich Sie ermutigen, sich einfach daran zu halten.

Er könnte wahrscheinlich dem Argument der von Ihnen erwähnten Artikel folgen, indem er nur die Trennung von Variablen für den Fall der unendlichen Wand verwendet. Sehr cooler Artikel übrigens. Ich dachte, jemand hätte das gelöst.
@Vendetta Die zitierten Referenzen scheinen zu behaupten, dass die Eigenzustände nicht trennbar sind, daher ist es wahrscheinlich etwas komplizierter, aber wenn die Leute die expliziten Lösungen wollen, gibt es letztendlich den Referenzpfad, und es liegt an ihnen, ihn zu verfolgen.
Die x- und y-Richtung sind nicht trennbar, aber ich bezog mich auf die z-Richtung.
@EmilioPisanty Der Link zum JMP-Papier wird eher an Ihre Bibliothek als an das Journal gesendet. Wenn ich darf: Das ist die Art von fantastischer Antwort, die mich bei PhysicsSE hält.
Hmm. Vielleicht könnten Sie ihre Methode tatsächlich für jedes Dreieck verallgemeinern, da diese Art der Kachelung für jedes Dreieck durchgeführt werden kann (Sie können immer zwei Dreiecke verwenden, um ein Parallelogramm zu erstellen, wie die Bilder zeigen), Sie verformen einfach die Symmetrie und stellen ihre Beziehung wieder her in der gleichseitige Fall. Dies wird sicherlich für das Spektrum und die Wellenfunktionen von Bedeutung sein, aber es scheint, dass viele ihrer Methoden immer noch gelten könnten. Mit diesem Gedankengang könnte es auch möglich sein, eine solche Argumentation leicht auf das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck anzuwenden, da zwei Dreiecke ein quadratisches Potential ergeben.
Nun... Das wurde wahrscheinlich schon einmal gemacht, wie alle Ideen, die ich habe.
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