Wie finden wir die Anzahl der beschränkten Zustände in diesem Potential?

Beachten Sie das in einem Potential $-1/(x^4+1)$Die Anzahl der Zustände wäre jedoch endlich ...

Entschuldigung, ich bin immer noch etwas verwirrt, da ich nichts über WKB weiß ... Ich habe die numerische Integration verwendet, um herauszufinden, dass es 4 Eigenwerte gibt, die kleiner als 0 sind, und der Rest größer als 0 ... Ich dachte, nur Energie größer als 0 sind nicht begrenzt

@tjkt: Nennen Sie WKB in diesem Zusammenhang die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung, und Sie sind vielleicht damit vertraut. Wenn die Numerik Ihnen nur 4 Eigenwerte liefert, dann ist die Numerik falsch. Sie haben jedoch weder den Hamilton- noch den Hilbert-Raum angegeben. Ich bin davon ausgegangen, dass Sie die Schrödinger-Gleichung weiter lösen möchten $x\in \mathbb{R}$...

Wenn es also wahr ist, hat SHO unendliche gebundene Zustände für Potential <0?

@tjkt: Das Potenzial für den einfachen harmonischen Oszillator geht nicht auf Null $x \rightarrow \infty$. Sie können das SHO nicht als Modell verwenden, um das Verhalten Ihres Systems zu verstehen, wenn sich die Energie der gebundenen Zustände Null nähert.

An der Grenze $x_0 \rightarrow 0$, das Potential sieht aus wie eine Delta-Funktion des Gewichts $-\pi x_0$und Sie erwarten nur einen einzigen gebundenen Zustand nahe der Energie Null. Scheitert hier die WKB-Methode oder liege ich falsch?

@Praan: Ich würde argumentieren, dass es etwas vereinfacht ist, das zu denken $x_0\to 0$Sie erhalten eine Delta-Funktion. Es ist die Tatsache, dass das Potenzial gegen 0 geht für $x\to \infty$nur wie $1/x^2$die unendlich viele gebundene Zustände zulässt. Eine "echte" Delta-Funktion würde sich schneller 0 nähern (bereits für $1/x^4$Sie erhalten eine endliche Anzahl von gebundenen Zuständen).

Kannst du mir ein paar Tipps geben, wie ich das numerisch darstellen kann? Ich habe versucht, dieses SE zu entdimensionieren, um die Form zu erhalten $1/2\frac{d^2}{ds^2} \psi - A/(1+s^2/A) \psi = B \psi$, Wo $A = V_{0}/\hbar \omega$Und $B = E/\hbar \omega$, Und $\omega$ist die Frequenz des harmonischen Oszillators. Durch die Lösung dieses Problems habe ich 4 negative Werte erhalten und der Rest ist positiv.

@Fabian Ok, also kann man sich dieses Potential als regularisiert vorstellen $1/x^2$Potential und das Spektrum hat einen Häufungspunkt bei der Energie Null. Danke.

@tjkt Ich vermute, dass die positiven Energien Scheinlösungen sind. Sie benötigen wahrscheinlich ein sehr feines und großes Raster, um mehr negative Werte zu finden. Dies ist zu erwarten, da ein Zustand nahe der Energie Null nur schwach gebunden ist. Vielleicht können Sie die Wellenfunktion des Grundzustands und der ersten paar angeregten Zustände überprüfen; sie sollten den Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators ähneln.

@tjkt Bei näherer Untersuchung bin ich mir sicher, dass die positiven Energien falsch sind und noch nicht konvergiert sind. In jedem Fall können Sie das vollständige Spektrum niemals numerisch finden, da Sie unendliche Genauigkeit benötigen würden. Vielleicht eine Darstellung der Grundzustandsenergie als Funktion des Reglers $A$(oder $x_0$oder $m$) wäre nett. Tatsächlich (z $V(x) = -1/(x^2+m^2)$) Dies ist sehr interessant und hängt mit singulären Potentialen und anomaler Symmetriebrechung zusammen.