Welche Energiezustände hat ein Teilchen in einem Delta-Potentialtopf V(x)=−δ(x)V(x)=−δ(x)V(x)=-\delta(x)?

Ihnen wird gegeben, dass das Potenzial von Form ist$V(x) = -\delta(x)$, und ist somit auf Null zentriert. Was Sie nun tun können, ist, jede Region, die das Potenzial "trennt", separat zu betrachten (nämlich die Region, in der$x>0$Und$x<0$), allgemeine Lösung mit einigen Koeffizienten berechnen und diese Koeffizienten anhand der Definition des Potentials finden. Betrachten Sie die Region, in der ($x<0$), hier liegt genau das Potenzial$0$, reduziert sich die Schodinger-Gleichung auf

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi_1 = E\psi_1$$ Die allgemeine Lösung davon ist einfach: $\psi_1 = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}$für $\kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}$, aber da das Potential negativ ist und damit der Energieeigenzustand gebunden werden kann, muss die Energie negativ sein, der Koeffizient $\kappa$ist echt: $\kappa\in\mathbb{R}$. Damit die Wellenfunktion normierbar ist (und damit eine mögliche Lösung), $\lim_{x\rightarrow -\infty} \psi_1 = 0$und somit $B=0$

Wiederholen Sie den gleichen Vorgang für die Region, in der$x>0$erhält man folgende Wellenfunktion:$\psi_2 = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x}$. Ähnlich, aufgrund der Normalisierung,$C=0$daher$\lim_{x\rightarrow \infty} \psi_2(x) = 0$

Jetzt ist die Frage, wie man sie in Beziehung setzt? Nun, Sie kennen die Form des Potentials, also ist die allgemeine Form der Schrödinger-Gleichung für dieses Problem einfach:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) - \delta(x)\psi(x)= E\psi(x)$$ Aber da das Potential bei Null zentriert ist (wenn die Tatsache nur bei einen Wert ungleich Null hat $x=0$), können Sie über das Intervall integrieren $[-\epsilon,\epsilon]$als $\epsilon\rightarrow 0$: $$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{d\psi'}{dx} dx - \psi(0) \approx E\psi_{average}(x)\epsilon = 0$$ Was uns die Diskontinuität der Ableitung der Wellenfunktion gibt: $$\psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi(0)\tag{D.1}$$ Aber Sie kennen bereits die allgemeine Form jeder Lösung in jeder Region, insbesondere: $\psi_1(x)$für $x<0$Und $\psi_2(x)$für $x>0$, und die Gleichung $\text{D.1}$bezieht sich auf die Ableitungen dieser Funktionen. Die Berechnung der Ableitungen ergibt: $$\psi_1'(x) = A\kappa e^{\kappa x} \\ \psi_2'(x) = -D\kappa e^{-\kappa x}$$ Verwendung der Diskontinuität der Ableitung: $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = \psi_2'(0) - \psi_1'(0) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi_1(0) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi_2(0)$$ Aber seit $\psi_1(0) = A$, Und $\psi_2(0) = B$, und aus obiger Gleichung (und Kontinuität der Wellenfunktion) $A=B$, verweisen wir nur auf $A$. Damit wird die obige Gleichung zu: $$2\kappa A = \frac{2m}{\hbar^2}A \rightarrow \kappa = \frac{m}{\hbar^2}$$ Was Ihnen den Energieeigenwert für diese gebundene Wellenfunktion gibt: $$E = -\frac{m}{2\hbar^2}$$ und der Energieeigenzustand ist: $\psi_1(x) = Ae^{\kappa x}$für $x<0$Und $Ae^{-\kappa x}$für $x>0$was äquivalent zu folgendem ist: $$\psi(x) = Ae^{-\kappa |x|}$$ Da diese Gleichung keine Nullstellen/Knoten hat, ist dieser Energie-Eigenzustand der Grundzustand. Seit $n$-ten Energieeigenzustand hat $n-1$Nullen, $2$nd Energie-Eigenzustand muss genau haben $1$Null, überlegen wir uns, was die Folge davon wäre $\exists x\in\mathbb{R}: \psi(x) = 0$. Es gibt drei Möglichkeiten, nämlich $\psi(x)=0$bei entweder

• $x=0$
• $-x\in\mathbb{R}^+$
• $x\in\mathbb{R}^{+}$

Betrachten wir jeden Fall einzeln: Wenn$\psi(0)$Null ist, würde das bedeuten, dass die Diskontinuität der Ableitung der Wellenfunktion (Gl.$\text{D.1}$) ist gleich Null, was äquivalent ist zu sagen:$\kappa=0 \rightarrow E=0$, dh Teilchen existiert nicht, daher können wir schlussfolgern, dass, wenn Null existiert, es sich nicht bei befindet$x=0$.

Betrachten Sie den Fall, wenn$-x\in\mathbb{R}^+$, oder Region wo$x<0$, hier ist die allgemeine Lösung für eine Wellenfunktion$\psi_1(x) = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x}$. Damit es in diesem Bereich eine Null hat$Ae^{\kappa x}+ Be^{-\kappa x}=0$für einige$x$, was das impliziert$B\neq0$, und somit

$$\lim_{x\rightarrow -\infty} \psi_1(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty} Be^{-\kappa x} \neq 0$$ was verhindert, dass die Wellenfunktion normalisierbar ist.

Wiederholen eines ähnlichen Vorgangs für die Region$x\in\mathbb{R}^+$oder$x>0$, gibt die gleiche Antwort: Die Existenz von Null impliziert die Nichtnormalisierbarkeit der Wellenfunktion, daher muss die folgende Bedingung gelten, damit eine gebundene Wellenfunktion existiert$\forall x\in\mathbb{R}: \psi(x)\neq 0$, was beweist, dass die Grundzustands-Wellenfunktion nur ein möglicher gebundener Energie-Eigenzustand ist.

Aus dem Obigen ist ersichtlich, dass es für dieses Potential nur einen gebundenen Energieeigenzustand gibt, nämlich$\psi(x)= Ae^{-|\kappa x|}$mit Energieeigenwert$E=-\frac{m}{2\hbar^2}$

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Anhang: Lösung für den Proportionalitätskoeffizienten$A$

Da wir nun die Form der Grundzustandswellenfunktion kennen, können wir den Proportionalitätskoeffizienten berechnen$A$aus Normalisierungsbedingung:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \overline{\psi}(x)\psi(x) dx = A^2\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\kappa x|} dx =\\ A^2\left(\int_{-\infty}^{0} e^{2\kappa x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-2\kappa x} dx\right) = \frac{A^2}{\kappa} = 1$$ Was gibt: $A = \kappa^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}$, und die Grundzustandswellenfunktion nimmt die folgende Form an: $$\psi(x) = \sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}e^{-|\kappa x|}$$

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Hinweis: Um den Text nicht mit Ableitungen zu überladen, hier any für beliebige Funktionen $f(x)$von Variable $x$, seine Ableitung $\frac{df(x)}{dx}$ist mit bezeichnet $f'(x)$.

Du bist ganz in der Nähe. Ich denke, was Sie vermissen, ist, dass Sie nach einem gebundenen Zustand suchen$E<0$, daher ist Alpha imaginär, wodurch Ihre Exponentiale in Ihrer Überlagerung zu echten exponentiellen Zerfällen / Wachstumswerten werden, anstatt zu Termen, die bis ins Unendliche oszillieren.

Zwei dieser Begriffe gehen auseinander$\pm\infty$, also konvergiert dein Integral nur, wenn die Koeffizienten dieser Terme null sind. Sie haben noch 2 Koeffizienten, die Anforderung "psi ist kontinuierlich" und die Normalisierungsanforderung. Die Integrale konvergieren gut, ab hier ist es nur noch Mathematik.