Warum bewirkt die erste radiale Anregung eines Teilchens in einem 2D-Ring a Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Betrachten Sie die Quantenmechanik eines massiven Teilchens, das durch unendliche Potentialwände auf einen 2D-Ring beschränkt ista < r < b A < R < B a<r<b, für die die Hamilton-Eigenfunktionen der stationären Schrödinger-Gleichung gehorchen −12∇2ψ ( r , θ ) = Eψ ( r , θ )unterψ ( a ) = ψ ( b ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( R , θ ) = E ψ ( R , θ ) unter ψ ( A ) = ψ ( B ) = 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Diese Schrödinger-Gleichung ist ungefähr so einfach zu lösen wie die des endlichen quadratischen Brunnens in 1D: Die Wellenfunktion selbst muss eine Linearkombination von Bessel-Funktionen der ersten und zweiten Art sein, ψ ( r , θ ) = [ AJM( kr ) + B _YM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = [ A J M ( k R ) + B Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, WoE=12k2 E = 1 2 k 2 E=\frac12 k^2, und die Nullstelle am inneren Ring kann ganz einfach explizit gelöst werden, was eine Wellenfunktion der Form ergibt ψ ( r , θ ) = N[YM( ka ) _JM( k r ) −JM( ka ) _YM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = N [ Y M ( k A ) J M ( k R ) − J M ( k A ) Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, das Problem schließlich auf die Lösung einer einzigen transzendentalen Gleichung reduzieren, YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0 , Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, die sogenannten „Kreuzprodukt“-Bessel-Nullen . OK, mit dieser kleinen Einrichtung möchte ich die folgende Anmerkung machen: Beobachtung: im Limitb / a ≫ 1 B / A ≫ 1 b/a\gg 1, wo der Ring im Vergleich zu seinem Innendurchmesser groß ist, der erstem = 0 M = 0 m=0Der angeregte Zustand (dh der Zustand mit genau einem radialen Knoten) liegt zwischen den niedrigstenm = 2 M = 2 m=2Staat und der niedrigstem = 3 M = 3 m=3Zustand: Bildquelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Dies lässt sich am einfachsten grafisch darstellen; Das obige Diagramm zeigt einen einigermaßen asymptotischen Bereich inb / a B / A b/a(Einstellunga = 1 A = 1 a=1), aber das Verhalten bleibt bis zu Werten von bestehenb / a B / A b/aso groß, wie ich es mir vorgenommen habe. In diesem Sinne dann: Was ist so besonders an derm = 2 M = 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}Zum = 3 M = 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}Schritt? Das heißt, wenn diem = 0 M = 0 m=0,NR= 1 N R = 1 n_r=1Zustand wird asymptotisch zwischen zwei definiertenM M mGrundzustände, warum nicht zwischenm = 0 M = 0 m=0Undm = 1 M = 1 m=1? Oder, wenn azimutale Anregungen grundsätzlich einfacher sind als radiale Anregungen, warum nicht dazwischenm = 1 M = 1 m=1Undm = 2 M = 2 m=2? Oder, wenn es an einem Höhepunkt der gehtM M mLeiter, warum nicht diem = 3 M = 3 m=3Zum = 4 M = 4 m=4oderm = 4 M = 4 m=4Undm = 5 M = 5 m=5Schritte, wo wir gerade dabei sind? Quantenmechanik Wellenfunktion Potenzial Schrödinger-Gleichung Eigenwert Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Vielleicht könnte man das asymptotische Verhalten der Kreuzprodukt-Bessel-Nullen überprüfen: Der asymptotische Ausdruck der NIST-Seite könnte einige Einblicke geben. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Anders Sandberg Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Die Asymptotik in der DLMF gilt für die höherwertigen Nullstellen derselben Gleichung (dh ihrev v \nuist meinM M mund ihreM M mist meinNR N R n_r; die Ergebnisse sind asymptotisch in ihrerM M m), anstatt das Verhalten der Nullstelle niedrigster Ordnung als Gleichung selbst (viaB B b) Änderungen. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Der beste Weg, sich dieser Frage zu nähern, besteht darin, das Limit auf das Formular umzudrehena / b → 0 A / B → 0 a/b\to 0, dh den Außenradius als fest zu betrachten und dann den Innenradius zu Null zu nehmen. Das wird im Allgemeinen erforderlich seinka → 0 _ k A → 0 ka\to 0, und in diesem Regime dieA A a-abhängige Koeffizienten der Quantisierungsgleichung YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0( ∗ ) ( ∗ ) Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$$} werden sehr unterschiedlich aussehen: whileJM( ka ) _ J M ( k A ) J_m(ka)bleibt begrenzt (und zm > 0 M > 0 m>0, es wird gegen Null tendieren),YM( ka ) _ Y M ( k A ) Y_m(ka)wächst immer unbegrenzt, was als erste Annäherung an die Quantisierungsgleichung bedeutet( ∗ ) ( ∗ ) ()In dieser Grenze können wir den Begriff in einfach verwerfenYM( kb ) _ Y M ( k B ) Y_m(kb), also bleibt uns nur noch JM( k b ) = 0. J M ( k B ) = 0. J_m(kb)=0. Das heißt, die Reihenfolge der radialen und der azimutalen Nullstellen in diesem asymptotischen Regime wird dadurch verursacht, dass die ersten Nullstellen vonJ1( z) J 1 ( z ) J_1(z)UndJ2( z) J 2 ( z ) J_2(z)passieren vor der zweiten Null vonJ0( z) J 0 ( z ) J_0(z), aber die erste Null vonJ3( z) J 3 ( z ) J_3(z)zwischen der zweiten und dritten Null liegtJ0( z) J 0 ( z ) J_0(z): OK, das löst das Rätsel, aber es lässt eine Frage offen: ob die Quantisierungsbedingung in dieser Grenze gerecht istJM( k b ) = 0 J M ( k B ) = 0 J_m(kb)=0, dh identisch mit einem Vollkreis ohne inneren Kern, wie schafft es dann die Wellenfunktion, einen Knoten in der Mitte zu bekommen? Die Antwort darauf ist, die Näherungen etwas genauer zu beschreibenka → 0 _ k A → 0 ka\to 0Grenze, indem quantitative Schätzungen für die verwendet werdenCM( ka ) _ C M ( k A ) C_m(ka)Koeffizienten: mit der Asymptotik JM( z) ∼zMm !2M J M ( z ) ∼ z M M ! 2 M J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} für die reguläre Lösung, und YM( z) ∼ −( m − 1 ) !2Mπ1zM für m > 0UndY0( z) ∼2πln( z) Y M ( z ) ∼ − ( M − 1 ) ! 2 M π 1 z M für M > 0 Und Y 0 ( z ) ∼ 2 π ln ⁡ ( z ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) für die divergente lautet die Quantisierungsbedingung JM( kb ) _J0( kb ) _≈ −πm ! ( m − 1 ) !22 m( ka _)2 mYM( kb ) _für m > 0 und _ ≈π21ln( ka ) _Y0( kb ) . _ J M ( k B ) ≈ − π M ! ( M − 1 ) ! 2 2 M ( k A ) 2 M Y M ( k B ) für M > 0 , Und J 0 ( k B ) ≈ π 2 1 ln ⁡ ( k A ) Y 0 ( k B ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}Bisher sagt uns dies, was wir bereits wussten: dieYM( kb ) _ Y M ( k B ) Y_m(kb)wird am anderen Ende brav sein, und dask ein k A ka-abhängige Faktoren fahrenJM( kb ) _ J M ( k B ) J_m(kb)bis auf null. Wichtiger ist jedoch, dass wir diese Schätzungen jetzt wieder in die Wellenfunktion selbst einspeisen können, die jetzt lautet ψ ( r , θ ) =N'[JM( kr ) + _πm ! ( m − 1 ) !22 m( ka _)2 mYM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = N ' [ J M ( k R ) + π M ! ( M − 1 ) ! 2 2 M ( k A ) 2 M Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, fürm > 0 M > 0 m>0Und ψ ( r , θ ) =N'[J0( k r ) −π21ln( ka ) _Y0( kr ) ] _ ψ ( R , θ ) = N ' [ J 0 ( k R ) − π 2 1 ln ⁡ ( k A ) Y 0 ( k R ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad für den Basisfall. Wichtig dabei ist, dass die Lösung im Wesentlichen von der dominiert wirdJM( kr ) _ J M ( k R ) J_m(kr)Begriff, weil der Koeffizient derYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)Begriff verschwindet in derka → 0 _ k A → 0 ka\to 0Grenze; es ist daher keine Überraschung, dass die Quantisierungsbedingung auf den Vollkreisfall beschränkt ist. Diese Dominanz erstreckt sich jedoch nicht bis zur inneren Grenze: Die Lösung hat eine winzige Menge anYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)darin, aber der Koeffizient ist immer noch ungleich Null, und alsk r k R krAnsätzek ein k A kavon oben die Neumann-FunktionYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)wird immer größer, also für alle endlichA A aes wird schließlich groß genug sein, um der Winzigkeit des Koeffizienten zu entsprechen und einen Ordnungsbegriff zu geben1 1 1das wird die Nicht-Null aufhebenJM( ka ) _ J M ( k A ) J_m(ka)Beitrag. So zum Beispiel beim = 0 M = 0 m=0Die Wellenfunktion sieht aus wie Ihre BasisJ0( kr ) _ J 0 ( k R ) J_0(kr)Drum-Grundzustand, aber mit einem klitzekleinen BisschenY0( kr ) _ Y 0 ( k R ) Y_0(kr)das ist nur relevant, wenn es divergiert und am Ursprung eine Null ausschneidet. Abschließend, nur um dies hier zu dokumentieren: Die oben angegebene Asymptote funktioniert irgendwie in Ordnungm ≥ 1 M ≥ 1 m\geq 1, aber es ist nicht gut für diem = 0 M = 0 m=0Kanal, wo die Konvergenz zu dieser Asymptotik logarithmisch statt Potenzgesetz ist. Dies kann in der Tat verbessert werden, indem die Gleichung wie eingangs angegeben genommen wird, YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0 ,( ∗ ) ( ∗ ) Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} und unter der Annahme, dass sich die Lösung nicht viel ändert, dh durch die Einstellungk b =Jm , n+ ö k B = J M , N + δ kb = j_{m,n}+\delta, einige Störungen auf derN N nte Null vonJM J M J_m, und erweiternJM( kb ) _ J M ( k B ) J_m(kb)linear um diesen Punkt, was nachgibt JM( kb ) ≈ − _Jm + 1(Jm , n) δ, J M ( k B ) ≈ − J M + 1 ( J M , N ) δ , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, mit allem anderen unberührt am Nullpunkt. Dies führt zu einer linearen Gleichung inδ δ \delta, die gelöst werden können, um zu geben k b =Jm , n−1YM(Jm , na / b )JM(Jm , na / b )YM(Jm , n)Jm + 1(Jm , n). k B = J M , N − 1 Y M ( J M , N A / B ) J M ( J M , N A / B ) Y M ( J M , N ) J M + 1 ( J M , N ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Fürm = 0 M = 0 m=0, gibt dieser erste Nenner eine Asymptotik der Form an k b =J0 , n+π/ 2ln( b /Jm , na )JM(Jm , na / b )YM(Jm , n)Jm + 1(Jm , n). k B = J 0 , N + π / 2 ln ⁡ ( B / J M , N A ) J M ( J M , N A / B ) Y M ( J M , N ) J M + 1 ( J M , N ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Dies verbessert diese Konvergenz wirklich, insbesondere bei der Annäherung an den Grundzustand durch die durchgezogene graue Linie: Quelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z

Question

Warum bewirkt die erste radiale Anregung eines Teilchens in einem 2D-Ring a Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Betrachten Sie die Quantenmechanik eines massiven Teilchens, das durch unendliche Potentialwände auf einen 2D-Ring beschränkt ista < r < b A < R < B a<r<b, für die die Hamilton-Eigenfunktionen der stationären Schrödinger-Gleichung gehorchen −12∇2ψ ( r , θ ) = Eψ ( r , θ )unterψ ( a ) = ψ ( b ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( R , θ ) = E ψ ( R , θ ) unter ψ ( A ) = ψ ( B ) = 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Diese Schrödinger-Gleichung ist ungefähr so einfach zu lösen wie die des endlichen quadratischen Brunnens in 1D: Die Wellenfunktion selbst muss eine Linearkombination von Bessel-Funktionen der ersten und zweiten Art sein, ψ ( r , θ ) = [ AJM( kr ) + B _YM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = [ A J M ( k R ) + B Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, WoE=12k2 E = 1 2 k 2 E=\frac12 k^2, und die Nullstelle am inneren Ring kann ganz einfach explizit gelöst werden, was eine Wellenfunktion der Form ergibt ψ ( r , θ ) = N[YM( ka ) _JM( k r ) −JM( ka ) _YM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = N [ Y M ( k A ) J M ( k R ) − J M ( k A ) Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, das Problem schließlich auf die Lösung einer einzigen transzendentalen Gleichung reduzieren, YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0 , Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, die sogenannten „Kreuzprodukt“-Bessel-Nullen . OK, mit dieser kleinen Einrichtung möchte ich die folgende Anmerkung machen: Beobachtung: im Limitb / a ≫ 1 B / A ≫ 1 b/a\gg 1, wo der Ring im Vergleich zu seinem Innendurchmesser groß ist, der erstem = 0 M = 0 m=0Der angeregte Zustand (dh der Zustand mit genau einem radialen Knoten) liegt zwischen den niedrigstenm = 2 M = 2 m=2Staat und der niedrigstem = 3 M = 3 m=3Zustand: Bildquelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Dies lässt sich am einfachsten grafisch darstellen; Das obige Diagramm zeigt einen einigermaßen asymptotischen Bereich inb / a B / A b/a(Einstellunga = 1 A = 1 a=1), aber das Verhalten bleibt bis zu Werten von bestehenb / a B / A b/aso groß, wie ich es mir vorgenommen habe. In diesem Sinne dann: Was ist so besonders an derm = 2 M = 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}Zum = 3 M = 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}Schritt? Das heißt, wenn diem = 0 M = 0 m=0,NR= 1 N R = 1 n_r=1Zustand wird asymptotisch zwischen zwei definiertenM M mGrundzustände, warum nicht zwischenm = 0 M = 0 m=0Undm = 1 M = 1 m=1? Oder, wenn azimutale Anregungen grundsätzlich einfacher sind als radiale Anregungen, warum nicht dazwischenm = 1 M = 1 m=1Undm = 2 M = 2 m=2? Oder, wenn es an einem Höhepunkt der gehtM M mLeiter, warum nicht diem = 3 M = 3 m=3Zum = 4 M = 4 m=4oderm = 4 M = 4 m=4Undm = 5 M = 5 m=5Schritte, wo wir gerade dabei sind? Quantenmechanik Wellenfunktion Potenzial Schrödinger-Gleichung Eigenwert Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Vielleicht könnte man das asymptotische Verhalten der Kreuzprodukt-Bessel-Nullen überprüfen: Der asymptotische Ausdruck der NIST-Seite könnte einige Einblicke geben. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Anders Sandberg Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Die Asymptotik in der DLMF gilt für die höherwertigen Nullstellen derselben Gleichung (dh ihrev v \nuist meinM M mund ihreM M mist meinNR N R n_r; die Ergebnisse sind asymptotisch in ihrerM M m), anstatt das Verhalten der Nullstelle niedrigster Ordnung als Gleichung selbst (viaB B b) Änderungen. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Der beste Weg, sich dieser Frage zu nähern, besteht darin, das Limit auf das Formular umzudrehena / b → 0 A / B → 0 a/b\to 0, dh den Außenradius als fest zu betrachten und dann den Innenradius zu Null zu nehmen. Das wird im Allgemeinen erforderlich seinka → 0 _ k A → 0 ka\to 0, und in diesem Regime dieA A a-abhängige Koeffizienten der Quantisierungsgleichung YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0( ∗ ) ( ∗ ) Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$$} werden sehr unterschiedlich aussehen: whileJM( ka ) _ J M ( k A ) J_m(ka)bleibt begrenzt (und zm > 0 M > 0 m>0, es wird gegen Null tendieren),YM( ka ) _ Y M ( k A ) Y_m(ka)wächst immer unbegrenzt, was als erste Annäherung an die Quantisierungsgleichung bedeutet( ∗ ) ( ∗ ) ()In dieser Grenze können wir den Begriff in einfach verwerfenYM( kb ) _ Y M ( k B ) Y_m(kb), also bleibt uns nur noch JM( k b ) = 0. J M ( k B ) = 0. J_m(kb)=0. Das heißt, die Reihenfolge der radialen und der azimutalen Nullstellen in diesem asymptotischen Regime wird dadurch verursacht, dass die ersten Nullstellen vonJ1( z) J 1 ( z ) J_1(z)UndJ2( z) J 2 ( z ) J_2(z)passieren vor der zweiten Null vonJ0( z) J 0 ( z ) J_0(z), aber die erste Null vonJ3( z) J 3 ( z ) J_3(z)zwischen der zweiten und dritten Null liegtJ0( z) J 0 ( z ) J_0(z): OK, das löst das Rätsel, aber es lässt eine Frage offen: ob die Quantisierungsbedingung in dieser Grenze gerecht istJM( k b ) = 0 J M ( k B ) = 0 J_m(kb)=0, dh identisch mit einem Vollkreis ohne inneren Kern, wie schafft es dann die Wellenfunktion, einen Knoten in der Mitte zu bekommen? Die Antwort darauf ist, die Näherungen etwas genauer zu beschreibenka → 0 _ k A → 0 ka\to 0Grenze, indem quantitative Schätzungen für die verwendet werdenCM( ka ) _ C M ( k A ) C_m(ka)Koeffizienten: mit der Asymptotik JM( z) ∼zMm !2M J M ( z ) ∼ z M M ! 2 M J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} für die reguläre Lösung, und YM( z) ∼ −( m − 1 ) !2Mπ1zM für m > 0UndY0( z) ∼2πln( z) Y M ( z ) ∼ − ( M − 1 ) ! 2 M π 1 z M für M > 0 Und Y 0 ( z ) ∼ 2 π ln ⁡ ( z ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) für die divergente lautet die Quantisierungsbedingung JM( kb ) _J0( kb ) _≈ −πm ! ( m − 1 ) !22 m( ka _)2 mYM( kb ) _für m > 0 und _ ≈π21ln( ka ) _Y0( kb ) . _ J M ( k B ) ≈ − π M ! ( M − 1 ) ! 2 2 M ( k A ) 2 M Y M ( k B ) für M > 0 , Und J 0 ( k B ) ≈ π 2 1 ln ⁡ ( k A ) Y 0 ( k B ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}Bisher sagt uns dies, was wir bereits wussten: dieYM( kb ) _ Y M ( k B ) Y_m(kb)wird am anderen Ende brav sein, und dask ein k A ka-abhängige Faktoren fahrenJM( kb ) _ J M ( k B ) J_m(kb)bis auf null. Wichtiger ist jedoch, dass wir diese Schätzungen jetzt wieder in die Wellenfunktion selbst einspeisen können, die jetzt lautet ψ ( r , θ ) =N'[JM( kr ) + _πm ! ( m − 1 ) !22 m( ka _)2 mYM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = N ' [ J M ( k R ) + π M ! ( M − 1 ) ! 2 2 M ( k A ) 2 M Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, fürm > 0 M > 0 m>0Und ψ ( r , θ ) =N'[J0( k r ) −π21ln( ka ) _Y0( kr ) ] _ ψ ( R , θ ) = N ' [ J 0 ( k R ) − π 2 1 ln ⁡ ( k A ) Y 0 ( k R ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad für den Basisfall. Wichtig dabei ist, dass die Lösung im Wesentlichen von der dominiert wirdJM( kr ) _ J M ( k R ) J_m(kr)Begriff, weil der Koeffizient derYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)Begriff verschwindet in derka → 0 _ k A → 0 ka\to 0Grenze; es ist daher keine Überraschung, dass die Quantisierungsbedingung auf den Vollkreisfall beschränkt ist. Diese Dominanz erstreckt sich jedoch nicht bis zur inneren Grenze: Die Lösung hat eine winzige Menge anYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)darin, aber der Koeffizient ist immer noch ungleich Null, und alsk r k R krAnsätzek ein k A kavon oben die Neumann-FunktionYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)wird immer größer, also für alle endlichA A aes wird schließlich groß genug sein, um der Winzigkeit des Koeffizienten zu entsprechen und einen Ordnungsbegriff zu geben1 1 1das wird die Nicht-Null aufhebenJM( ka ) _ J M ( k A ) J_m(ka)Beitrag. So zum Beispiel beim = 0 M = 0 m=0Die Wellenfunktion sieht aus wie Ihre BasisJ0( kr ) _ J 0 ( k R ) J_0(kr)Drum-Grundzustand, aber mit einem klitzekleinen BisschenY0( kr ) _ Y 0 ( k R ) Y_0(kr)das ist nur relevant, wenn es divergiert und am Ursprung eine Null ausschneidet. Abschließend, nur um dies hier zu dokumentieren: Die oben angegebene Asymptote funktioniert irgendwie in Ordnungm ≥ 1 M ≥ 1 m\geq 1, aber es ist nicht gut für diem = 0 M = 0 m=0Kanal, wo die Konvergenz zu dieser Asymptotik logarithmisch statt Potenzgesetz ist. Dies kann in der Tat verbessert werden, indem die Gleichung wie eingangs angegeben genommen wird, YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0 ,( ∗ ) ( ∗ ) Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} und unter der Annahme, dass sich die Lösung nicht viel ändert, dh durch die Einstellungk b =Jm , n+ ö k B = J M , N + δ kb = j_{m,n}+\delta, einige Störungen auf derN N nte Null vonJM J M J_m, und erweiternJM( kb ) _ J M ( k B ) J_m(kb)linear um diesen Punkt, was nachgibt JM( kb ) ≈ − _Jm + 1(Jm , n) δ, J M ( k B ) ≈ − J M + 1 ( J M , N ) δ , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, mit allem anderen unberührt am Nullpunkt. Dies führt zu einer linearen Gleichung inδ δ \delta, die gelöst werden können, um zu geben k b =Jm , n−1YM(Jm , na / b )JM(Jm , na / b )YM(Jm , n)Jm + 1(Jm , n). k B = J M , N − 1 Y M ( J M , N A / B ) J M ( J M , N A / B ) Y M ( J M , N ) J M + 1 ( J M , N ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Fürm = 0 M = 0 m=0, gibt dieser erste Nenner eine Asymptotik der Form an k b =J0 , n+π/ 2ln( b /Jm , na )JM(Jm , na / b )YM(Jm , n)Jm + 1(Jm , n). k B = J 0 , N + π / 2 ln ⁡ ( B / J M , N A ) J M ( J M , N A / B ) Y M ( J M , N ) J M + 1 ( J M , N ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Dies verbessert diese Konvergenz wirklich, insbesondere bei der Annäherung an den Grundzustand durch die durchgezogene graue Linie: Quelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z

Emilio Pisanty

Betrachten Sie die Quantenmechanik eines massiven Teilchens, das durch unendliche Potentialwände auf einen 2D-Ring beschränkt ist $a<r<b$ , für die die Hamilton-Eigenfunktionen der stationären Schrödinger-Gleichung gehorchen

- \frac{1}{2} \nabla^{2} ψ (R, θ) = E ψ (R, θ) unter ψ (A) = ψ (B) = 0.

$-\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0.$ Diese Schrödinger-Gleichung ist ungefähr so einfach zu lösen wie die des endlichen quadratischen Brunnens in 1D: Die Wellenfunktion selbst muss eine Linearkombination von Bessel-Funktionen der ersten und zweiten Art sein,

ψ (R, θ) = [A J_{M} (k R) + B Y_{M} (k R)] e^{ich M θ},

$\psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ Wo

E = \frac{1}{2} k^{2}

$E=\frac12 k^2$ , und die Nullstelle am inneren Ring kann ganz einfach explizit gelöst werden, was eine Wellenfunktion der Form ergibt

ψ (R, θ) = N [Y_{M} (k A) J_{M} (k R) - J_{M} (k A) Y_{M} (k R)] e^{ich M θ},

$\psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ das Problem schließlich auf die Lösung einer einzigen transzendentalen Gleichung reduzieren,

Y_{M} (k A) J_{M} (k B) - J_{M} (k A) Y_{M} (k B) = 0,

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0,$ die sogenannten „Kreuzprodukt“-Bessel-Nullen .

OK, mit dieser kleinen Einrichtung möchte ich die folgende Anmerkung machen:

Beobachtung: im Limit $b/a\gg 1$ , wo der Ring im Vergleich zu seinem Innendurchmesser groß ist, der erste $m=0$ Der angeregte Zustand (dh der Zustand mit genau einem radialen Knoten) liegt zwischen den niedrigsten $m=2$ Staat und der niedrigste $m=3$ Zustand:

^{Bildquelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "]}

Dies lässt sich am einfachsten grafisch darstellen; Das obige Diagramm zeigt einen einigermaßen asymptotischen Bereich in $b/a$ (Einstellung $a=1$ ), aber das Verhalten bleibt bis zu Werten von bestehen $b/a$ so groß, wie ich es mir vorgenommen habe.

In diesem Sinne dann:

Was ist so besonders an der $\mathbf{\boldsymbol m=2}$ Zu $\mathbf{\boldsymbol m=3}$ Schritt? Das heißt, wenn die $m=0$ , $n_r=1$ Zustand wird asymptotisch zwischen zwei definierten $m$ Grundzustände, warum nicht zwischen $m=0$ Und $m=1$ ? Oder, wenn azimutale Anregungen grundsätzlich einfacher sind als radiale Anregungen, warum nicht dazwischen $m=1$ Und $m=2$ ? Oder, wenn es an einem Höhepunkt der geht $m$ Leiter, warum nicht die $m=3$ Zu $m=4$ oder $m=4$ Und $m=5$ Schritte, wo wir gerade dabei sind?

Anders Sandberg

Vielleicht könnte man das asymptotische Verhalten der Kreuzprodukt-Bessel-Nullen überprüfen: Der asymptotische Ausdruck der NIST-Seite könnte einige Einblicke geben.

Emilio Pisanty

@AndersSandberg Die Asymptotik in der DLMF gilt für die höherwertigen Nullstellen derselben Gleichung (dh ihre

ν

$\nu$ ist mein

m

$m$ und ihre

m

$m$ ist mein

n_{r}

$n_r$ ; die Ergebnisse sind asymptotisch in ihrer

m

$m$ ), anstatt das Verhalten der Nullstelle niedrigster Ordnung als Gleichung selbst (via

b

$b$ ) Änderungen.

Antworten (1)

Warum bewirkt die erste radiale Anregung eines Teilchens in einem 2D-Ring a Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Betrachten Sie die Quantenmechanik eines massiven Teilchens, das durch unendliche Potentialwände auf einen 2D-Ring beschränkt ista < r < b A < R < B a<r<b, für die die Hamilton-Eigenfunktionen der stationären Schrödinger-Gleichung gehorchen −12∇2ψ ( r , θ ) = Eψ ( r , θ )unterψ ( a ) = ψ ( b ) = 0. − 1 2 ∇ 2 ψ ( R , θ ) = E ψ ( R , θ ) unter ψ ( A ) = ψ ( B ) = 0. -\frac12\nabla^2 \psi(r,\theta) = E\psi(r,\theta) \qquad \text{under}\quad \psi(a)=\psi(b)=0. Diese Schrödinger-Gleichung ist ungefähr so einfach zu lösen wie die des endlichen quadratischen Brunnens in 1D: Die Wellenfunktion selbst muss eine Linearkombination von Bessel-Funktionen der ersten und zweiten Art sein, ψ ( r , θ ) = [ AJM( kr ) + B _YM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = [ A J M ( k R ) + B Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = \bigg[A J_m(kr) +B Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, WoE=12k2 E = 1 2 k 2 E=\frac12 k^2, und die Nullstelle am inneren Ring kann ganz einfach explizit gelöst werden, was eine Wellenfunktion der Form ergibt ψ ( r , θ ) = N[YM( ka ) _JM( k r ) −JM( ka ) _YM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = N [ Y M ( k A ) J M ( k R ) − J M ( k A ) Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = N\bigg[Y_m(ka)J_m(kr) - J_m(ka)Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, das Problem schließlich auf die Lösung einer einzigen transzendentalen Gleichung reduzieren, YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0 , Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, die sogenannten „Kreuzprodukt“-Bessel-Nullen . OK, mit dieser kleinen Einrichtung möchte ich die folgende Anmerkung machen: Beobachtung: im Limitb / a ≫ 1 B / A ≫ 1 b/a\gg 1, wo der Ring im Vergleich zu seinem Innendurchmesser groß ist, der erstem = 0 M = 0 m=0Der angeregte Zustand (dh der Zustand mit genau einem radialen Knoten) liegt zwischen den niedrigstenm = 2 M = 2 m=2Staat und der niedrigstem = 3 M = 3 m=3Zustand: Bildquelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/srzC6.png "] Dies lässt sich am einfachsten grafisch darstellen; Das obige Diagramm zeigt einen einigermaßen asymptotischen Bereich inb / a B / A b/a(Einstellunga = 1 A = 1 a=1), aber das Verhalten bleibt bis zu Werten von bestehenb / a B / A b/aso groß, wie ich es mir vorgenommen habe. In diesem Sinne dann: Was ist so besonders an derm = 2 M = 2 \mathbf{\boldsymbol m=2}Zum = 3 M = 3 \mathbf{\boldsymbol m=3}Schritt? Das heißt, wenn diem = 0 M = 0 m=0,NR= 1 N R = 1 n_r=1Zustand wird asymptotisch zwischen zwei definiertenM M mGrundzustände, warum nicht zwischenm = 0 M = 0 m=0Undm = 1 M = 1 m=1? Oder, wenn azimutale Anregungen grundsätzlich einfacher sind als radiale Anregungen, warum nicht dazwischenm = 1 M = 1 m=1Undm = 2 M = 2 m=2? Oder, wenn es an einem Höhepunkt der gehtM M mLeiter, warum nicht diem = 3 M = 3 m=3Zum = 4 M = 4 m=4oderm = 4 M = 4 m=4Undm = 5 M = 5 m=5Schritte, wo wir gerade dabei sind? Quantenmechanik Wellenfunktion Potenzial Schrödinger-Gleichung Eigenwert Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Vielleicht könnte man das asymptotische Verhalten der Kreuzprodukt-Bessel-Nullen überprüfen: Der asymptotische Ausdruck der NIST-Seite könnte einige Einblicke geben. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Anders Sandberg Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z @AndersSandberg Die Asymptotik in der DLMF gilt für die höherwertigen Nullstellen derselben Gleichung (dh ihrev v \nuist meinM M mund ihreM M mist meinNR N R n_r; die Ergebnisse sind asymptotisch in ihrerM M m), anstatt das Verhalten der Nullstelle niedrigster Ordnung als Gleichung selbst (viaB B b) Änderungen. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Emilio Pisanty Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z Der beste Weg, sich dieser Frage zu nähern, besteht darin, das Limit auf das Formular umzudrehena / b → 0 A / B → 0 a/b\to 0, dh den Außenradius als fest zu betrachten und dann den Innenradius zu Null zu nehmen. Das wird im Allgemeinen erforderlich seinka → 0 _ k A → 0 ka\to 0, und in diesem Regime dieA A a-abhängige Koeffizienten der Quantisierungsgleichung YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0( ∗ ) ( ∗ ) Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$*$} werden sehr unterschiedlich aussehen: whileJM( ka ) _ J M ( k A ) J_m(ka)bleibt begrenzt (und zm > 0 M > 0 m>0, es wird gegen Null tendieren),YM( ka ) _ Y M ( k A ) Y_m(ka)wächst immer unbegrenzt, was als erste Annäherung an die Quantisierungsgleichung bedeutet( ∗ ) ( ∗ ) (*)In dieser Grenze können wir den Begriff in einfach verwerfenYM( kb ) _ Y M ( k B ) Y_m(kb), also bleibt uns nur noch JM( k b ) = 0. J M ( k B ) = 0. J_m(kb)=0. Das heißt, die Reihenfolge der radialen und der azimutalen Nullstellen in diesem asymptotischen Regime wird dadurch verursacht, dass die ersten Nullstellen vonJ1( z) J 1 ( z ) J_1(z)UndJ2( z) J 2 ( z ) J_2(z)passieren vor der zweiten Null vonJ0( z) J 0 ( z ) J_0(z), aber die erste Null vonJ3( z) J 3 ( z ) J_3(z)zwischen der zweiten und dritten Null liegtJ0( z) J 0 ( z ) J_0(z): OK, das löst das Rätsel, aber es lässt eine Frage offen: ob die Quantisierungsbedingung in dieser Grenze gerecht istJM( k b ) = 0 J M ( k B ) = 0 J_m(kb)=0, dh identisch mit einem Vollkreis ohne inneren Kern, wie schafft es dann die Wellenfunktion, einen Knoten in der Mitte zu bekommen? Die Antwort darauf ist, die Näherungen etwas genauer zu beschreibenka → 0 _ k A → 0 ka\to 0Grenze, indem quantitative Schätzungen für die verwendet werdenCM( ka ) _ C M ( k A ) C_m(ka)Koeffizienten: mit der Asymptotik JM( z) ∼zMm !2M J M ( z ) ∼ z M M ! 2 M J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m} für die reguläre Lösung, und YM( z) ∼ −( m − 1 ) !2Mπ1zM für m > 0UndY0( z) ∼2πln( z) Y M ( z ) ∼ − ( M − 1 ) ! 2 M π 1 z M für M > 0 Und Y 0 ( z ) ∼ 2 π ln ⁡ ( z ) Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z) für die divergente lautet die Quantisierungsbedingung JM( kb ) _J0( kb ) _≈ −πm ! ( m − 1 ) !22 m( ka _)2 mYM( kb ) _für m > 0 und _ ≈π21ln( ka ) _Y0( kb ) . _ J M ( k B ) ≈ − π M ! ( M − 1 ) ! 2 2 M ( k A ) 2 M Y M ( k B ) für M > 0 , Und J 0 ( k B ) ≈ π 2 1 ln ⁡ ( k A ) Y 0 ( k B ) . \begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}Bisher sagt uns dies, was wir bereits wussten: dieYM( kb ) _ Y M ( k B ) Y_m(kb)wird am anderen Ende brav sein, und dask ein k A ka-abhängige Faktoren fahrenJM( kb ) _ J M ( k B ) J_m(kb)bis auf null. Wichtiger ist jedoch, dass wir diese Schätzungen jetzt wieder in die Wellenfunktion selbst einspeisen können, die jetzt lautet ψ ( r , θ ) =N'[JM( kr ) + _πm ! ( m − 1 ) !22 m( ka _)2 mYM( kr ) ] _eich bin θ, ψ ( R , θ ) = N ' [ J M ( k R ) + π M ! ( M − 1 ) ! 2 2 M ( k A ) 2 M Y M ( k R ) ] e ich M θ , \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta}, fürm > 0 M > 0 m>0Und ψ ( r , θ ) =N'[J0( k r ) −π21ln( ka ) _Y0( kr ) ] _ ψ ( R , θ ) = N ' [ J 0 ( k R ) − π 2 1 ln ⁡ ( k A ) Y 0 ( k R ) ] \psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad für den Basisfall. Wichtig dabei ist, dass die Lösung im Wesentlichen von der dominiert wirdJM( kr ) _ J M ( k R ) J_m(kr)Begriff, weil der Koeffizient derYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)Begriff verschwindet in derka → 0 _ k A → 0 ka\to 0Grenze; es ist daher keine Überraschung, dass die Quantisierungsbedingung auf den Vollkreisfall beschränkt ist. Diese Dominanz erstreckt sich jedoch nicht bis zur inneren Grenze: Die Lösung hat eine winzige Menge anYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)darin, aber der Koeffizient ist immer noch ungleich Null, und alsk r k R krAnsätzek ein k A kavon oben die Neumann-FunktionYM( kr ) _ Y M ( k R ) Y_m(kr)wird immer größer, also für alle endlichA A aes wird schließlich groß genug sein, um der Winzigkeit des Koeffizienten zu entsprechen und einen Ordnungsbegriff zu geben1 1 1das wird die Nicht-Null aufhebenJM( ka ) _ J M ( k A ) J_m(ka)Beitrag. So zum Beispiel beim = 0 M = 0 m=0Die Wellenfunktion sieht aus wie Ihre BasisJ0( kr ) _ J 0 ( k R ) J_0(kr)Drum-Grundzustand, aber mit einem klitzekleinen BisschenY0( kr ) _ Y 0 ( k R ) Y_0(kr)das ist nur relevant, wenn es divergiert und am Ursprung eine Null ausschneidet. Abschließend, nur um dies hier zu dokumentieren: Die oben angegebene Asymptote funktioniert irgendwie in Ordnungm ≥ 1 M ≥ 1 m\geq 1, aber es ist nicht gut für diem = 0 M = 0 m=0Kanal, wo die Konvergenz zu dieser Asymptotik logarithmisch statt Potenzgesetz ist. Dies kann in der Tat verbessert werden, indem die Gleichung wie eingangs angegeben genommen wird, YM( ka ) _JM( kb ) − _JM( ka ) _YM( k b ) = 0 ,( ∗ ) ( ∗ ) Y M ( k A ) J M ( k B ) − J M ( k A ) Y M ( k B ) = 0 , Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$} und unter der Annahme, dass sich die Lösung nicht viel ändert, dh durch die Einstellungk b =Jm , n+ ö k B = J M , N + δ kb = j_{m,n}+\delta, einige Störungen auf derN N nte Null vonJM J M J_m, und erweiternJM( kb ) _ J M ( k B ) J_m(kb)linear um diesen Punkt, was nachgibt JM( kb ) ≈ − _Jm + 1(Jm , n) δ, J M ( k B ) ≈ − J M + 1 ( J M , N ) δ , J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta, mit allem anderen unberührt am Nullpunkt. Dies führt zu einer linearen Gleichung inδ δ \delta, die gelöst werden können, um zu geben k b =Jm , n−1YM(Jm , na / b )JM(Jm , na / b )YM(Jm , n)Jm + 1(Jm , n). k B = J M , N − 1 Y M ( J M , N A / B ) J M ( J M , N A / B ) Y M ( J M , N ) J M + 1 ( J M , N ) . kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Fürm = 0 M = 0 m=0, gibt dieser erste Nenner eine Asymptotik der Form an k b =J0 , n+π/ 2ln( b /Jm , na )JM(Jm , na / b )YM(Jm , n)Jm + 1(Jm , n). k B = J 0 , N + π / 2 ln ⁡ ( B / J M , N A ) J M ( J M , N A / B ) Y M ( J M , N ) J M + 1 ( J M , N ) . kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}. Dies verbessert diese Konvergenz wirklich, insbesondere bei der Annäherung an den Grundzustand durch die durchgezogene graue Linie: Quelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "] Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-03-11T19:58:50.292Z

Vielleicht könnte man das asymptotische Verhalten der Kreuzprodukt-Bessel-Nullen überprüfen: Der asymptotische Ausdruck der NIST-Seite könnte einige Einblicke geben.
@AndersSandberg Die Asymptotik in der DLMF gilt für die höherwertigen Nullstellen derselben Gleichung (dh ihre $\nu$ ist mein $m$ und ihre $m$ ist mein $n_r$ ; die Ergebnisse sind asymptotisch in ihrer $m$ ), anstatt das Verhalten der Nullstelle niedrigster Ordnung als Gleichung selbst (via $b$ ) Änderungen.

Emilio Pisanty · Answer 1

Der beste Weg, sich dieser Frage zu nähern, besteht darin, das Limit auf das Formular umzudrehen $a/b\to 0$ , dh den Außenradius als fest zu betrachten und dann den Innenradius zu Null zu nehmen. Das wird im Allgemeinen erforderlich sein $ka\to 0$ , und in diesem Regime die $a$ -abhängige Koeffizienten der Quantisierungsgleichung

\begin{matrix} (*) & Y_{M} (k A) J_{M} (k B) - J_{M} (k A) Y_{M} (k B) = 0 \end{matrix}

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0 \tag{$*$}$ werden sehr unterschiedlich aussehen: while

J_{m} (k a)

$J_m(ka)$ bleibt begrenzt (und z

m > 0

$m>0$ , es wird gegen Null tendieren),

Y_{m} (k a)

$Y_m(ka)$ wächst immer unbegrenzt, was als erste Annäherung an die Quantisierungsgleichung bedeutet

(*)

$(*)$ In dieser Grenze können wir den Begriff in einfach verwerfen

Y_{m} (k b)

$Y_m(kb)$ , also bleibt uns nur noch

J_{M} (k B) = 0.

$J_m(kb)=0.$ Das heißt, die Reihenfolge der radialen und der azimutalen Nullstellen in diesem asymptotischen Regime wird dadurch verursacht, dass die ersten Nullstellen von

J_{1} (z)

$J_1(z)$ Und

J_{2} (z)

$J_2(z)$ passieren vor der zweiten Null von

J_{0} (z)

$J_0(z)$ , aber die erste Null von

J_{3} (z)

$J_3(z)$ zwischen der zweiten und dritten Null liegt

J_{0} (z)

$J_0(z)$ :

Mathematica-Grafiken

OK, das löst das Rätsel, aber es lässt eine Frage offen: ob die Quantisierungsbedingung in dieser Grenze gerecht ist $J_m(kb)=0$ , dh identisch mit einem Vollkreis ohne inneren Kern, wie schafft es dann die Wellenfunktion, einen Knoten in der Mitte zu bekommen?

Die Antwort darauf ist, die Näherungen etwas genauer zu beschreiben $ka\to 0$ Grenze, indem quantitative Schätzungen für die verwendet werden $C_m(ka)$ Koeffizienten: mit der Asymptotik

J_{M} (z) \sim \frac{z^{M}}{M! 2^{M}}

$J_m(z) \sim \frac{z^m}{m! 2^m}$ für die reguläre Lösung, und

Y_{M} (z) \sim - \frac{(M - 1)! 2^{M}}{π} \frac{1}{z^{M}} für M > 0 Und Y_{0} (z) \sim \frac{2}{π} \ln (z)

$Y_m(z) \sim -\frac{(m-1)!2^m}{\pi} \frac{1}{z^m} \text{ for }m>0 \quad \text{and} \quad Y_0(z) \sim \frac{2}{\pi} \ln(z)$ für die divergente lautet die Quantisierungsbedingung

\begin{aligned} J_{M} (k B) & \approx - \frac{π}{M! (M - 1)! 2^{2 M}} (k A)^{2 M} Y_{M} (k B) für M > 0, Und \\ J_{0} (k B) & \approx \frac{π}{2} \frac{1}{\ln (k A)} Y_{0} (k B) . \end{aligned}

$\begin{align} J_m(kb) & \approx - \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kb) \quad \text{for }m>0, \ \text{and}\\ J_0(kb) & \approx \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)} Y_0(kb). \end{align}$ Bisher sagt uns dies, was wir bereits wussten: die

Y_{m} (k b)

$Y_m(kb)$ wird am anderen Ende brav sein, und das

k a

$ka$ -abhängige Faktoren fahren

J_{m} (k b)

$J_m(kb)$ bis auf null.

Wichtiger ist jedoch, dass wir diese Schätzungen jetzt wieder in die Wellenfunktion selbst einspeisen können, die jetzt lautet

ψ (R, θ) = N^{'} [J_{M} (k R) + \frac{π}{M! (M - 1)! 2^{2 M}} (k A)^{2 M} Y_{M} (k R)] e^{ich M θ},

$\psi(r,\theta) = N'\bigg[J_m(kr) + \frac{\pi}{m!(m-1)! 2^{2m}} (ka)^{2m}Y_m(kr)\bigg]e^{im\theta},$ für

m > 0

$m>0$ Und

ψ (R, θ) = N^{'} [J_{0} (k R) - \frac{π}{2} \frac{1}{\ln (k A)} Y_{0} (k R)]

$\psi(r,\theta) = N'\bigg[J_0(kr) - \frac{\pi }{2} \frac{1}{\ln(ka)}Y_0(kr)\bigg] \qquad\qquad\qquad\qquad$ für den Basisfall. Wichtig dabei ist, dass die Lösung im Wesentlichen von der dominiert wird

J_{m} (k r)

$J_m(kr)$ Begriff, weil der Koeffizient der

Y_{m} (k r)

$Y_m(kr)$ Begriff verschwindet in der

k a \to 0

$ka\to 0$ Grenze; es ist daher keine Überraschung, dass die Quantisierungsbedingung auf den Vollkreisfall beschränkt ist.

Diese Dominanz erstreckt sich jedoch nicht bis zur inneren Grenze: Die Lösung hat eine winzige Menge an $Y_m(kr)$ darin, aber der Koeffizient ist immer noch ungleich Null, und als $kr$ Ansätze $ka$ von oben die Neumann-Funktion $Y_m(kr)$ wird immer größer, also für alle endlich $a$ es wird schließlich groß genug sein, um der Winzigkeit des Koeffizienten zu entsprechen und einen Ordnungsbegriff zu geben $1$ das wird die Nicht-Null aufheben $J_m(ka)$ Beitrag. So zum Beispiel bei $m=0$ Die Wellenfunktion sieht aus wie Ihre Basis $J_0(kr)$ Drum-Grundzustand, aber mit einem klitzekleinen Bisschen $Y_0(kr)$ das ist nur relevant, wenn es divergiert und am Ursprung eine Null ausschneidet.

Abschließend, nur um dies hier zu dokumentieren: Die oben angegebene Asymptote funktioniert irgendwie in Ordnung $m\geq 1$ , aber es ist nicht gut für die $m=0$ Kanal, wo die Konvergenz zu dieser Asymptotik logarithmisch statt Potenzgesetz ist.

Dies kann in der Tat verbessert werden, indem die Gleichung wie eingangs angegeben genommen wird,

\begin{matrix} (*) & Y_{M} (k A) J_{M} (k B) - J_{M} (k A) Y_{M} (k B) = 0, \end{matrix}

$Y_m(ka)J_m(kb) - J_m(ka)Y_m(kb)=0, \tag{$*$}$ und unter der Annahme, dass sich die Lösung nicht viel ändert, dh durch die Einstellung

k b = j_{m, n} + δ

$kb = j_{m,n}+\delta$ , einige Störungen auf der

n

$n$ te Null von

J_{m}

$J_m$ , und erweitern

J_{m} (k b)

$J_m(kb)$ linear um diesen Punkt, was nachgibt

J_{M} (k B) \approx - J_{M + 1} (J_{M, N}) δ,

$J_m(kb) \approx -J_{m+1}(j_{m,n})\delta,$ mit allem anderen unberührt am Nullpunkt. Dies führt zu einer linearen Gleichung in

δ

$\delta$ , die gelöst werden können, um zu geben

k B = J_{M, N} - \frac{1}{Y_{M} (J_{M, N} A / B)} \frac{J_{M} (J_{M, N} A / B) Y_{M} (J_{M, N})}{J_{M + 1} (J_{M, N})} .

$kb= j_{m,n} - \frac{1}{Y_m(j_{m,n}a/b)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}.$ Für

m = 0

$m=0$ , gibt dieser erste Nenner eine Asymptotik der Form an

k B = J_{0, N} + \frac{π / 2}{\ln (B / J_{M, N} A)} \frac{J_{M} (J_{M, N} A / B) Y_{M} (J_{M, N})}{J_{M + 1} (J_{M, N})} .

$kb= j_{0,n} + \frac{\pi/2}{\ln(b/j_{m,n}a)} \frac{J_m(j_{m,n}a/b)Y_m(j_{m,n})}{J_{m+1}(j_{m,n})}.$

Dies verbessert diese Konvergenz wirklich, insbesondere bei der Annäherung an den Grundzustand durch die durchgezogene graue Linie:

^{Quelle: Import[" http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m "][" http://i.stack.imgur.com/Uk9Eo.png "]}

Emilio Pisanty

Anders Sandberg

Emilio Pisanty

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Emilio Pisanty

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