Eigenzustände des konischen Potentials in 3 Dimensionen?

Nehmen wir eine gewöhnliche zeitinvariante Schödinger-Gleichung:

H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ ,
und verwenden Sie ein konisches Potential v ( R ) = A R Wir erhalten eine Differentialgleichung:
[ − ( ℏ 2 2 M ) ∇ 2 + A R ] ψ ( R → ) = E ψ ( R → ) .

In einer Dimension wird dies zur Airy-Differentialgleichung , mit der Airy-Funktion , ψ N ( X ) = N [ Zeichen ⁡ ( X − X N ) ] N Ai ⁡ ( k | X − X N | ) , was normalisierbare Lösungen für Werte von gibt X N fixiert durch die Energie und inverse Skala k = 2 A M ℏ 2 3 .

Sind die Eigenwerte und Eigenzustände für die 2- und insbesondere 3-dimensionalen Fälle bekannt? Auch für die Drehimpulszustände Null? Ich habe gefragt, ob die resultierende Differentialgleichung auf eine Standardgleichung mit bekannten Lösungen bei math.stackexchange bezogen werden kann , und habe dort keine Antwort, aber ich dachte, dass jemand hier bei physical.stackexchange vielleicht besser damit vertraut ist dieses besondere Problem.

Antworten (1)

Siehe diese Antwort von mir . In D räumliche Dimensionen, lautet Ihre Gleichung

u ″ ( R ) + 2 M [ E − v ℓ ( R ) ] u ( R ) = 0
wo das effektive Potenzial liegt
v ℓ = v ( R ) + 1 2 M ℓ D ( ℓ D + 1 ) R 2
mit ℓ D = ℓ + ( D − 3 ) / 2 . Der Null-Winkelimpuls-Zustand hat ℓ = 0 , und damit hinein D = 3 Dimensionen die Gleichung für u ( R ) ist identisch mit der 1D-Airy-Gleichung, deren Lösung Sie bereits kennen. Für ℓ D ≠ 0 analytische Lösungen scheint es nicht zu geben. Das asymptotische Verhalten bei R → ∞ sollte einfach zu berechnen sein, da der Zentrifugalterm im Vergleich zum linearen Term vernachlässigbar ist A R . Andere Eigenschaften des Systems lassen sich mit analytischen Methoden nicht so einfach abschätzen, aber man kann immer auf numerische Methoden zurückgreifen.

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